Geometria differenziale
Anno accademico 2012/2013

Diario delle lezioni

Settimana 1	Lunedì	1/10/2012	Funzioni C^∞ su aperti e su sottoinsiemi di R^n; struttura algebrica di C^∞(U); proprietà di fascio di C^∞; supporto di una funzione; famiglie di sottoinsiemi localmente finite; partizioni dell'unità C^∞; esistenza di una partizione dell'unità (enunciato); C^∞ subordinata ad un ricoprimento aperto dato; funzioni "dosso" o "bernoccolo"; lemma di Urysohn C^∞; approssimazione C^0 di funzioni continue con funzioni C^∞ su un compatto di R^n; paracompattezza di R^n (enunciato)
	Mercoledì	3/10/2012	paracompattezza di R^n (dimostrazione); esistenza della partizione dell'unità (dimostrazione); derivazioni, località, sviluppo di Taylor al primo ordine: descrizione delle derivazioni di C^∞(U) in sé, campi C^∞ di vettori; algebra dei germi di funzioni C^∞ attorno ad un punto p e suo ideale massimale; definizione algebrica dello spazio tangente TpU ad U (aperto di R^n) in un suo punto p; identificazione di TpU con R^n
Settimana 2	Lunedì	8/10/2012	Estensione di funzioni C^∞ da chiusi di R^n; germi di cammini, seconda definizione di spazio tangente a U in p, equivalenza delle due definizioni; pull-back di germi di funzioni C^∞ tramite applicazioni C^∞, differenziale di un'applicazione C^∞ in un punto (con entrambe le definizioni di spazio tangente), linearità del differenziale, differenziale in coordinate e matrice jacobiana; applicazioni lineari "modello" e teorema della funzione implicita (enunciato geometrico); due esercizi su differenziali di applicazioni fra spazi di matrici
	Mercoledì	10/10/2012	Varietà topologiche; atlanti C^k, funzioni di transizione, atlanti C^k-compatibili, strutture C^k su varietà topologiche; esempi: aperti di R^n, sfere, proiettivi reali; funzioni C^h su varietà C^k (con k≥h); due atlanti sono C^∞-compatibili se e solo se determinano le stesse funzioni C^∞; applicazioni C^∞ fra varietà C^∞, esempi (proiezione canonica sul proiettivo reale, immersione di Veronese)
Settimana 3	Lunedì	15/10/2012	Esercizi 2, 4 (solo atlante numerabile e esaustione di compatti) e 6 del Foglio 2
	Mercoledì	17/10/2012	Diffeomorfismi C^∞, coordinate locali, germi di funzioni su varietà e funtorialità per applicazioni C^∞, derivazioni, spazio tangente ad una varietà in un punto, germi di cammini e spazio tangente (seconda definizione), differenziale di un'applicazione C^∞ fra varietà, cambio di coordinate locali e cambio di base negli spazi tangenti; sottovarietà C^∞, spazio tangente di una sottovarietà, teorema della funzione implicita per applicazioni C^∞ fra varietà, sottovarietà come luoghi di zeri di applicazioni C^∞ sommersive, esempi (sfere, gruppo speciale lineare, gruppo ortogonale)
Settimana 4	Lunedì	22/10/2012	Fibrato tangente, sezioni, campi vettoriali, lemma di Sard (enunciato), teorema di immersione di Whitney di immersione di una varietà X compatta in R^N con N grande (con dimostrazione)
	Mercoledì	24/10/2012	Due applicazioni del lemma di Sard: immersione di Whitney di una varietà X compatta in R^N con N=1+2dim(X) ; teorema di Bertini C^∞; esercizi 2 e 3 del foglio 3
Settimana 5	Lunedì	29/10/2012	Esercizio 4 del Foglio 3; cubi, insiemi a misura (di Lebesgue) nulla, comportamento della misura per mappe lipschitziane, essere di misura zero è una condizione invariante per diffeomorfismo; riduzione del lemma di Sard al caso di una mappa F:U→R^m con U aperto di R^n
	Mercoledì	31/10/2012	Dimostrazione del lemma di Sard; intersezione di sottovarietà, stabilità dell'intersezione (discussione intuitiva) e trasversalità lemma di trasversalità (enunciato), esempio
Settimana 6	Lunedì	5/11/2012	Immagine inversa di una varietà tramite un'applicazione trasversa ad essa, lemma di trasversalità parametrica (dimostrazione), stabilità della trasversalità; campi vettoriali su varietà, curve integrali (esistenza, unicità, dipendenza regolare dai dati iniziali, estensione massimale), flussi generati, proprietà formali dei flussi, esempi; derivata di Lie lungo un campo vettoriale di una funzione e di un campo vettoriale, parentesi di Lie di due campi vettoriali, proprietà formali della parentesi di Lie: identità di Jacobi e struttura di algebra di Lie sullo spazio vettoriale dei campi vettoriali su una varietà
	Mercoledì	7/11/2012	Gruppi di Lie, traslazione a sinistra, campi vettoriali invarianti a sinistra e spazio tangente al gruppo nell'identità, struttura di algebra di Lie sul tangente al gruppo nell'identità esempi nei casi di GLn(R), On(R), SLn(R); esercizi del Foglio 4 n. 1(a), 3, 4, 5 e idea del 6(a)
		12-16/11/2012	Interruzione delle lezioni: prove in itinere
Settimana 7	Lunedì	19/11/2012	Esercizio 6 del foglio 4; lunghezza di curve in R^n; ripasso di prodotti tensori di spazi vettoriali e prodotti simmetrici e alterni, basi, forme bilineari simmetriche e alterne, costruzioni tensoriali su fibrato tangente e cotangente, fibrato delle forme bilineari simmetriche sul fibrato tangente, topologia, atlante e cambi di carta, metriche riemanniane su varietà, espressione di una metrica riemanniana in coordinate, lunghezza di una curva liscia rispetto ad una metrica riemanniana
	Mercoledì	21/11/2012	Esercizi 1-2-3-5 del foglio 5
Settimana 8	Lunedì	26/11/2012	Esercizio 4 del foglio 5; classificazione topologica delle varietà di dimensione 1 (enunciato); curve regolari e curve in parametro d'arco; classificazione delle varietà riemanniane di dimensione 1; curvatura di curve piane regolari, curvatura della circonferenza, teorema di esistenza e unicità di curve piane con curvatura assegnata; disuguaglianza isoperimetrica nel piano; numero di rotazione per una curva semplice chiusa nel piano
	Mercoledì	28/11/2012	Varietà con bordo, varietà con bordo, forme differenziali di grado massimo e orientabilità, integrazione su varietà orientate; forma di volume su una varietà riemanniana orientata, esempio della sfera in R^3
Settimana 9	Lunedì	3/12/2012	Esercizi 1 e 3 del foglio 6; esercizio 1 del foglio 7
	Mercoledì	5/12/2012	Curve non degeneri in R^3 e riferimento di Frenet, equazione differenziale per il riferimento di Frenet, curvatura e torsione di curve non degeneri in R^3, teorema di esistenza e unicità per curve nello spazio con curvatura e torsione assegnate, forma locale di curve non degeneri nello spazio; numero di avvolgimento di una curva piana chiusa attorno ad un punto, numero di allacciamento di due curve chiuse disgiunte nello spazio; esercizio 2, 3(a) per la curva C e discussione dell'orientazione per l'esercizio 4 del foglio 7
Settimana 10	Lunedì	10/12/2012	Superfici regolari in R^3: basi del tangente, orientabilità e prima forma fondamentale (metrica riemanniana indotta); mappa di Gauss e suo differenziale, seconda forma fondamentale; sezioni della superficie con piani normali, curvatura normale (relazione con la curvatura della sezione normale e buona definizione)
	Mercoledì	12/12/2012	Superfici nello spazio euclideo 3d: curvature principali, curvatura gaussiana, curvatura media, classificazionei dei punti (ellittici, iperbolici, parabolici, ombelicali, planari) con esempi; caratterizzazione di (porzioni di) piano e sfera. Mappa di Gauss in coordinate locali. Esempio del toro in R^3. Posizione della superficie rispetto ad un piano tangente in un punto ellittico/iperbolico.
Settimana 11	Lunedì	17/12/2012	Esercizi del Foglio 8; proprietà della curvatura gaussiana (enunciato)
	Mercoledì	19/12/2012	Superfici immerse nello spazio euclideo, variazioni a supporto compatto, funzionale area; variazioni normali e tangenziali; superfici minime (ossia stazionarie per il funzionale area), curvatura media Variazioni di curve ad estremi fissati, funzionale lunghezza e funzionale energia di una curva (informale) Connessioni sul fibrato tangente ad una varietà, connessione di Levi-Civita (esistenza e unicità) per una varietà riemanniana, connessione di Levi-Civita sullo spazio euclideo e su varietà immerse nello spazio euclideo
		21/12/2012-4/1/2013	Interruzione delle lezioni per vacanze di Natale
Settimana 12	Lunedì	7/1/2013	Derivata covariante, trasporto parallelo (esistenza, unicità, costanza di norma e angoli per campi paralleli); energia di curve, variazioni C^1 a estremi fissati, equazione delle geodetiche, esistenza e unicità delle geodetiche (con punto e velocità iniziali assegnati), intervallo massimale di definizione delle geodetiche; esempi di geodetiche usando speciali simmetrie della varietà (su sfere o sul piano iperbolico); teorema di Hopf-Rinow (solo enunciato), discussione di alcune proprietà minimizzanti delle geodetiche (informale); mappa esponenziale in un punto (diffeomorfismo locale)
	Mercoledì	9/1/2013	Esercizi 2,3,4 del Foglio 9 Coordinate normali, metrica riemanniana in coordinate normali Tensore di curvatura di Riemann, Theorema Egregium di Gauss (enunciato)
Settimana 13	Lunedì	14/1/2013	Disuguaglianza lunghezza-energia per curve C^1; tensore di curvatura di R^n, Theorema Egregium di Gauss; panoramica: triangolazioni di superfici compatte con bordo, caratteristica di Eulero, classificazione topologica delle superfici compatte con bordo, esempi; curvatura geodetica di una curva su una superficie; teorema di Gauss-Bonnet (enunciato; per superfici con bordo liscio); Esercizio 3 e Esercizio 1(b-c-d-e; rapidamente) del Foglio 10
	Mercoledì	16/1/2013	Gauss-Bonnet locale e globale (per varietà con bordo C^1 a tratti) con dimostrazione; applicazioni: triangoli geodetici in curvatura costante, unicità delle geodetiche in ogni classe di omotopia in curvatura non positiva

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