Algebra lineare (canale M-Z)
Anno accademico 2018/2019

Diario delle lezioni

2	Settimana 1	Lunedì Aula 2, ore 9-11	24/9/2018	Introduzione Numeri naturali (con lo zero), operazioni di somma e prodotto, proprietà, buon ordinamento Numeri interi e loro operazioni, struttura di anello commutativo con unità Esempi di anelli: Z[2^1/2], Z[x], Z/12, Z/n, Z/n[x], esistenza di divisori dello zero in Z/12 Numeri razionali e loro operazioni, struttura di campo Esempi di campi: Q[2^1/2], Q(x), Z/p con p primo, Q[i]
4		Martedì Aula 2, ore 11-13	25/9/2018	Numeri reali come scritture decimali Numeri complessi, parte reale e parte immaginaria, somma e moltiplicazione, coniugio, compatibilità del coniugio con somma e moltiplicazione Rappresentazione di un numero complesso nel piano di Gauss Modulo di un numero complesso, proprietà elementari del modulo, modulo di una somma e di un prodotto di numeri complessi, inverso di un numero complesso Numeri complessi di modulo 1 come circonferenza unitaria S^1, argomento di un numero complesso, forma polare di un numero complesso Prodotto di due numeri complessi in forma polare Radici n-esime di un numero complesso (non nullo), esempi
6		Giovedì Aula 2, ore 9-11	27/9/2018	Esercizi del foglio 1
8	Settimana 2	Lunedì Aula 2, ore 9-11	1/10/2018	Esempio di R^2: somma di vettori come composizione di spostamenti Gli spazi vettoriali numerici K^n, (K*)^n: operazioni di somma tra vettori e prodotto per scalare Definizione di spazio vettoriale su un campo K (proprietà 1-7) Esempi di spazi vettoriali: V={0V} su K qualunque, V=K^n o V=(K*)^n su K qualunque, V=C su K=R, V= Q[2^1/2] su K=Q, V={a+2^1/3: a,b in Q} su K=Q, V=K[x] e V= K[x]≤d su K qualunque, K^S con S insieme non vuoto su K qualunque Prodotto di due spazi vettoriali Proprietà addizionali degli spazi vettoriali (proprietà 8-13) Definizione di sottospazio vettoriale, esempio di sottospazio {0V} e di sottospazio H={xÎK^n: a1x1+…+anxn=0} in K^n
10	(De Concini)	Martedì Aula 2, ore 11-13	2/10/2018	Esempi di sottospazi vettoriali, classificazione dei sottospazi vettoriali di R^2Intersezione di sottospazi, somma di sottospazi, somma diretta Combinazioni lineari, insiemi di generatori Spazi vettoriali finitamente generati e infinitamente generati
12		Giovedì Aula 2, ore 9-11	4/10/2018	Sottospazi vettoriali di K^n definiti da una equazione omogenea di primo grado Intersezione (qualunque) di sottospazi vettoriali Somma (finita) di sottospazi vettoriali, somma diretta Combinazioni lineari, Span di un insieme finito di vettori Generatori di uno spazio vettoriale, spazi vettoriali finitamente generati e infinitamente generati, esempio di K^n e di K[x]
14	Settimana 3	Lunedì Aula 2, ore 9-11	8/10/2018	Proprietà dello Span(A) e degli insiemi di generatori, Span(AÈB)=Span(A)+Span(B), esempi Insiemi finiti linearmente indipendenti di vettori, esempio Teorema dello scambio
16		Martedì Aula 2, ore 11-13	9/10/2018	Spazi vettoriali generati da n elementi contengono al più n vettori linearmente indipendenti, uno spazio vettoriale è infinitamente generato se e solo se contiene k-uple di vettori linearmente indipendenti per ogni k Definizione di base di uno spazio vettoriale su un campo K ed esempi di basi canoniche di K^n e K[x]≤d Basi, insiemi massimali di vettori linearmente indipendenti, insiemi minimali di generatori In uno spazio vettoriale V finitamente generato: da un insieme finito A di generatori si può estrarre una base; un insieme di vettori linearmente indipendenti si può completare ad una base usando vettori in A; due basi B,B’ hanno lo stesso numero di elementi; data una base B ogni vettore v di V si scrive in modo unico come combinazione lineare di elementi in B Dimensione di uno spazio vettoriale V su un campo K Esempio: base di V=C^n come spazio vettoriale su K=C e come spazio vettoriale su K=R Se V ha dimensione n e A è un insieme ordinato di n vettori, allora A è una base se e solo se i vettori in A sono linearmente indipendenti se e solo se A è un insieme di generatori.
18	Lezione di recupero	Martedì Aula 2, ore 14-16	9/10/2018	Esercizi foglio 2
	LEZIONE CANCELLATA	Giovedì Aula 2, ore 9-11	11/10/2018
20	Settimana 4	Lunedì Aula 2, ore 9-11	15/10/2018	Esercizi foglio 3
22		Martedì Aula 2, ore 11-13	16/10/2018	Dimensione di sottospazi vettoriali Semisemplicità degli spazi vettoriali di dimensione finita, formula di Grassmann Definizione di applicazione lineare, esempi (applicazione nulla, applicazione identità, omotetie, proiezioni da K^n a K, applicazioni lineari da K a K, una applicazione lineare da K^2 a K^2, valutazione di una funzione in un punto, valutazione di un polinomio in un punto, inclusione di un sottospazio vettoriale, proiezione di una somma diretta su un addendo) Una f lineare manda 0 in 0, opposti in opposti e rispetta le combinazioni lineari Isomorfismi lineari, una applicazione lineare è un isomorfismo se e solo se è biiettiva
24	Lezione di recupero	Martedì Aula 3, ore 14-16	12/10/2018	Il dominio di una applicazione lineare suriettiva ha dimensione grande almeno quanto quella del codominio; inoltre, spazi vettoriali isomorfi hanno la stessa dimensione La composizione di applicazioni lineari è lineare; la restrizione di una applicazione lineare ad un sottospazio del dominio è lineare Se V è la somma diretta di sottospazi H e K, c’è una corrispondenza biunivoca tra le applicazioni lineari V®W e le coppie di applicazioni lineari (H®W, K®W) Nucleo di una applicazione lineare f, il nucleo è un sottospazio, il nucleo è {0} se e solo se f è iniettiva Immagine di una applicazione lineare, immagine di un sottospazio del dominio tramite una applicazione lineare; l’immagine è un sottospazio vettoriale Le applicazioni lineari iniettive mandano vettori linearmente indipendenti in vettori linearmente indipendente; le applicazioni lineari suriettive mandano generatori in generatori; gli isomorfismi mandano basi in basi Esempio: trovare una base del sottospazio di R^3 definito da {2x+3y-z=0}
26		Giovedì Aula 2, ore 9-11	18/10/2018	Esercizi del foglio 4
28	Settimana 5	Lunedì Aula 2, ore 9-11	22/10/2018	Definizione di rango, teorema del rango, esempio Le applicazioni lineari sono caratterizzate dal loro comportamento su una base Matrice Mf associata ad una applicazione lineare da K^n a K^m, applicazione lineare LA associata ad una matrice A, prodotto di una matrice per un vettore Struttura di spazio vettoriale su Hom(V,W) e sullo spazio delle matrici Mm,n(K), isomorfismi L e M Descrizione del nucleo e dell’immagine di LA Composizione di applicazioni lineari, prodotto di matrici e relazione LBA=LBLA
30		Martedì Aula 2, ore 11-13	23/10/2018	Passaggio alle coordinate rispetto ad una base, esempi Matrice che rappresenta una applicazione lineare rispetto a basi date (in partenza e in arrivo), esempi Matrice di cambio di base, esempio Matrice che rappresenta la composizione di due applicazioni lineari Matrici a scala, pivot e colonne pivot; risoluzione di sistemi lineari a scala, insieme delle soluzioni e sua dimensione Operazioni elementari sulle righe, matrici equivalenti per righe Se A,B sono matrici equivalenti per righe, allora ker(LA)=ker(LB); inoltre, se alcune colonne di B sono linearmente indipendenti, allora le corrispondenti colonne di A sono linearmente indipendenti Riduzione a scala di una matrice tramite operazioni elementari sulle righe Calcolo di una base di ker(LA) e di Im(LA) usando la riduzione a scala di A tramite operazioni elementari sulle righe, esempio
32		Giovedì Aula 2, ore 9-11	25/10/2018	Esercizi del foglio 5
	Settimana 6	Lunedì Aula 2, ore 9-11	29/10/2018	LEZIONE CANCELLATA PER ORDINANZA DEL SINDACO
		Martedì Aula 2, ore 11-13	30/10/2018	LEZIONE CANCELLATA PER ORDINANZA DEL SINDACO
		Martedì Aula G, ore 16-18	30/10/2018	TUTORAGGIO (con L. Oddis) – CANCELLATO PER ORDINANZA DEL SINDACO
		Martedì Aula 3, ore 13:30-16	6/11/2018	Prova in itinere
34		Giovedì Aula 2, ore 11-13	8/11/2018	Correzione prova in itinere
		Giovedì Aula Picone, ore 16-18	8/11/2018	TUTORAGGIO (con L. Oddis)
36	Settimana 7	Lunedì Aula 2, ore 9-11	12/11/2018	Risoluzione di sistemi lineari AX=b non omogenei, spazio delle soluzioni come traslato di ker(LA), teorema di Rouché-Capelli Matrici elementari e loro inverse, operazioni elementari sulle righe (risp. sulle colonne) come moltiplicazione a sinistra (risp. a destra) per matrici elementari Inversa di una matrice quadrata usando la riduzione di Gauss-Jordan, esempi, inversa di una matrice generica invertibile 2x2
38		Martedì Aula 2, ore 11-13	13/11/2018	Calcolo di equazioni cartesiane per l’immagine di LA (usando la riduzione a scala e Rouché-Capelli) Duale di uno spazio vettoriale, duale di K^n e sua base canonica , base duale (nel caso finito-dimensionale), base B^* di V^* duale della base B di V (con V di dimensione finita) Applicazione duale f^* di una applciazione lineare f, rispetto alle basi duali f^* è rappresentata dalla trasposta della matrice che rappresenta f Luogo di zeri Z(S) in V di un sottoinsieme S di V^*, proprietà elementari di Z(S), se S è un sottospazio vettoriale allora dim(Z(S))+dim(S)=dim(V) Per una qualunque applicazione lineare f, si ha Z(Im(f^*))=ker(f) Per una matrice, rango per righe=rango per colonne=dimensione della più piccola sottomatrice quadrata invertibile
40		Giovedì Aula 2, ore 9-11	15/11/2018	Correzione esercizi del foglio 7
		Giovedì Aula G, ore 14-16	15/11/2018	TUTORAGGIO (con L. Oddis)
42	Settimana 8	Lunedì Aula 2, ore 9-11	19/11/2018	Definizione di endomorfismo di uno spazio vettoriale, endomorfismi di V come trasformazioni di V, esempi nel piano (rotazioni, riflessioni ortogonali) Richiamo: passaggio in coordinate e cambio di coordinate per un endomorfismo (con la STESSA base in partenza e in arrivo); definizione di similitudine per matrici quadrate Definizione di quantità associata ad una matrice quadrata invariante per similitudine; esempi: rango, traccia Definizione e proprietà elementari della traccia: linearità, tr(AB)=tr(BA), invarianza per similitudine Idea del determinante di una matrice quadrata come rapporto di volumi con segno, formula a mano nel caso 2x2, significato geometrico della multi-linearità e dell’alternanza Definizione di determinante con l’espansione di Laplace lungo la prima riga Definizione di applicazione multi-lineare e di applicazione alternante Il determinante è multi-lineare e alternante, e inoltre det(I)=1
44		Martedì Aula 2, ore 11-13	20/11/2018	Proprietà e caratterizzazione delle funzioni dn:Mnn(K)K multilineari alterne sulle colonne Unicità del determinante, teorema di Binet Permutazioni, trasposizioni, segno di una permutazione, formula per il determinante usando le permutazioni Esempi: determinante di una matrice diagonale e di una matrice triangolare
46		Giovedì Aula 2, ore 9-11	22/11/2018	Esercizi del foglio 8
		Giovedì Aula G, ore 14-16	22/11/2018	TUTORAGGIO (con L. Oddis)
48	Settimana 9	Lunedì Aula 2, ore 9-11	26/11/2018	Sviluppi di Laplace del determinante rispetto a qualunque riga o colonna Esempi, determinante di Vandermonde Matrice dei cofattori, inversa di una matrice con il metodo di Cramer Determinante e rango della matrice dei cofattori Risoluzione di un sistema lineare quadrato con il metodo di Cramer Relazioni di equivalenza Esempio delle frazioni di numeri interi, dei sottoinsiemi di un fissato X (R=esistenza di una biiezione), similitudine di matrici quadrate
50		Martedì Aula 2, ore 11-13	27/11/2018	Autovalori λ (e loro molteplicità algebriche mλ e geometriche μλ), autovettori, autospazi, polinomio caratteristico di una matrice quadrata con esempi; loro invarianza per similitudine Termini di grado n, n-1 e 0 del polinomio caratteristico Autovalori (e loro molteplicità algebriche e geometriche), autovettori, autospazi, polinomio caratteristico di un endomorfismo f di uno spazio vettoriale V di dimensione n Gli autospazi di f sono in somma diretta e quindi Σ μλ ≤ dim(V) Endomorfismi diagonalizzabili, LA diagonalizzabile Û A è simile ad una matrice diagonale f è diagonalizzabile Û la somma diretta degli autospazi di f coincide con V Û Σ μλ = dim(V); esempio
52		Giovedì Aula 2, ore 9-11	29/11/2018	Esercizi dal Foglio 9
		Giovedì Aula G, ore 14-16	29/11/2018	TUTORAGGIO (con L. Oddis) - CANCELLATO
54	Settimana 10	Lunedì Aula 2, ore 9-11	3/12/2018	Relazioni di equivalenza ~ sull’insieme X, classi di equivalenza [x], rappresentanti, insieme quoziente X/~, proiezione canonica p:X®X/~ Esempi: Q, Z/nZ, P(V), V/W, funzioni reali a meno di costanti additive Struttura di spazio vettoriale su V/W, linearità di p:V®V/W e ker(p)=W Basi di V/W e dim(V)=dim(W)+dim(V/W) Primo teorema di omomorfismo: sia f:V®Z lineare; esiste g:V/W®Z lineare tale che gp=f se e solo se WÍker(f). Inoltre, se tale g esiste, essa è unica. Esempio: matrice che rappresenta f e g nel primo teorema di omomorfismo rispetto a basi opportune.
56		Martedì Aula 2, ore 11-13	4/12/2018	Sottospazi invarianti per un endomorfismo f:V®V; esempio: autospazio (o sottospazio di un autospazio) per f, nucleo e immagine di f Esempio di una matrice triangolare superiore: i sottospazi Vi=span{e1,...,ei} sono invarianti Se f:V®V endormorfismo e W sottospazio invariante, allora esistono f|W e g:V/W®V/W. Matrici che rappresentano f|W e g rispetto a basi opportune, p(f)=p(f|W)p(g). Definizione di endomorfismo triangolabile Un endomorfismo f di V è triangolabile se e solo se il polinomio caratteristico di f è prodotto di fattori di primo grado Ogni polinomio complesso (di grado almeno 1) è prodotto di fattori di primo grado Un endomorfismo di uno spazio vettoriale complesso (di dimensione finita) è sempre triangolabile Esempio: determinare una base di R^3 che triangola una data LA:R^3® R^3
58		Giovedì Aula 2, ore 9-11	6/12/2018	Esercizi dal foglio 10
		Giovedì Aula G, ore 14-16	6/12/2018	TUTORAGGIO (con L. Oddis)
60	Settimana 11	Lunedì Aula 2, ore 9-11	10/12/2018	Anelli A commutativi con unità, esempi: Z, Z[t], K, K[t], Z/n, F([0,1])={f:[0,1]®R}; esempio non commutativo: Mn,n(K) con k>1 Domini (di integrità), esempi: Z, Z[t], K, K[t]; proprietà di cancellazione nei domini Grado e valore assoluto in A= Z, K[t]; divisione euclidea; domini euclidei Ideali in A, esempi: ideali banali I={0},A; I=(a) multipli di a in A; I=(2,t) in A=Z[t]; Ix={f:[0,1]®R|f(x)=0} in A=F([0,1]) con x in [0,1] L’intersezione di ideali è un ideale, ideale (S) generato da un sottoinsieme S di A Ideali principali, anelli a ideali principali Z e K[t] sono domini a ideali principali; inoltre in Z ogni I non banale è del tipo (n) per un unico n>0; in K[t] ogni I non banale è del tipo (p) per un unico p monico Massimo comun divisore (MCD) di elementi in A per A=Z, K[t], algoritmo di Euclide per il calcolo del MCD di due elementi in A=Z, K[t], lemma di Bézout, esempio di calcolo di MCD in Q[t] Esempio: in A=Z[t] l’ideale I=(2,t) non è principale Elementi invertibili e elementi irriducibili in un anello Esempi: {1,-1} sono gli invertibili in Z; i polinomi costanti non nulli sono gli invertibili di K[t] Esempi: ogni polinomio di grado 1 è irriducibile in K[t]; ogni polinomio irriducibile (non costante) in C[t] ha grado 1; x^2+1 è irriducibile in R[t], x^4+1 non è irriducibile in R[t] In A=Z oppure A=K[t], se p irriducibile divide qr, allora p divide q oppure p divide r Fattorizzazione unica in A=Z e in A=K[t] Minimo comune multiplo (MCM) in A=Z e in A=K[t]
62		Martedì Aula 2, ore 11-13	11/12/2018	Fissato f in End(V), applicazione evf:K[t]®End(V) di valutazione evf(p):=p(f) e proprietà elementari, esempio Autovettori di f sono autovettori per p(f) Ideale If dei polinomi p tali che p(f)=0, polinomio minimo qf di un endomorfismo f di uno spazio vettoriale V di dimensione finita Esempio: If può essere {0} se V non ha dimensione finita Esempio (supponendo V di dimensione finita): qf ha grado 0 se e solo se V={0}; qf ha grado 1 se e solo se f è multiplo dell’identità (e V¹{0}) Se W è un sottospazio f-invariante di V, allora i polinomi minimi delle applicazioni indotte f|W:W®W e di [f]:V/W®V/W dividono il polinomio minimo qf di f, esempi Se un polinomio h di grado positivo divide qf, allora h(f) non è invertibile; le radici di qf sono tutti e soli gli autovalori di f
64		Giovedì Aula 2, ore 9-11	13/12/2018	Esercizi dal foglio 11
		Giovedì Aula G, ore 14-16	13/12/2018	TUTORAGGIO (con L. Oddis)
66	Settimana 12	Lunedì Aula 2, ore 9-11	17/12/2018	Matrici compagne e loro polinomi caratteristico e minimo Ogni polinomio monico di grado d è (-1)^dpf per qualche endomorfismo f di K^d Sottospazi f-ciclici Cv generati da {v,f(v),f^2(v),f^3(v),...} sono f-invarianti, rappresentazione della restrizione di f come matrice compagna a Cv e suoi polinomi caratteristico e minimo Teorema di Cayley-Hamilton: pf(f)=0 Esempi I sottospazi ker(p(f)) e im(p(f)) sono f-invarianti per ogni polinomio p Se (p1, p2)=1, allora ker(p1(f)) interseca ker(p2(f)) in {0} Se f è un endomorfismo di V tale che p(f)=0 con p= p1p2 e (p1,p2)=1, allora Im(pi(f)) è contenuta in ker(p2(f)) e V=ker(p1(f))Åker(p2(f)) Se pf=p1^d1... pk^dk con (pi, pj)=1, allora V=Åi ker(pi^di(f)) f è diagonalizzabile se e solo se il polinomio minimo qf di f è prodotto di fattori monici distinti di primo grado Esempi
68		Martedì Aula 2, ore 11-13	18/12/2018	Decomposizione primaria: se f:V®V e pf=p1^d1... pk^dk con (pi, pj)=1, allora V=Åi Vi con Vi=ker(pi^di(f)); se fi:Vi®Vi è la restrizione di f e pfi= pi^di e qfi= pi^ei con 1≤ei≤di Esempio Se V è la somma diretta di sottospazi f-invarianti Vi e fi è la restrizione di f a Vi, allora pf è il prodotto dei pfi e qf è il minimo comune multiplo dei qfi ker(pi^b(f))Íker(pi^b+1(f))ÍVi e, se ei è il minimo b per cui vale l’uguaglianza, si ha ker(pi^ei(f))=ker(pi^ei+1(f))=…=Vi e quindi qfi= pi^ei Esempi
70		Martedì Aula 3, ore 14-16	18/12/2018	Esercizi dal foglio 12
		Mercoledì Aula E, ore 16-18	19/12/2018	TUTORAGGIO (con M. Trevisiol)
		Giovedì Aula 2, ore 9-11	20/12/2018	LEZIONE CANCELLATA
		Giovedì Aula G, ore 14-16	20/12/2018	TUTORAGGIO (con L. Oddis)
Interruzione natalizia
72	Settimana 13	Lunedì Aula 2, ore 9-11	7/1/2019	Richiamo sulla decomposizione primaria, esempio Endomorfismi con polinomio caratteristico completamente riducibile, autospazi generalizzati Endomorfismi nilpotenti, indice di nilpotenza, esempi Caratterizzazione degli endomorfismi nilpotenti, partizione associata ad un endomorfismo nilpotente, matrici triangoli strettamente superiori Decomposizione di Fitting
74		Martedì Aula 2, ore 11-13	8/1/2019	Partizioni e diagrammi di Young, diagrammi di Young associati ad un endomorfismo nilpotente, esempio Blocco di Jordan e diagramma di Young associato, matrice nilpotente in forma di Jordan e diagramma di Young associato, esempi Caratterizzazione di matrici nilpotenti (a meno di similitudine) tramite diagrammi di Young: forma di Jordan e basi di Jordan per endomorfismi nilpotenti, esempi Forma di Jordan e basi di Jordan per un endomorfismo f con polinomio caratteristico pf=(λ-t)^n, esempio Forma di Jordan e basi di Jordan per un endomorfismo con polinomio caratteristico completamente riducibile, esempio
		Mercoledì Aula E, ore 16-18	9/1/2019	TUTORAGGIO (con M. Trevisiol)
76		Giovedì Aula 2, ore 9-11	10/1/2019	Alcuni esercizi dal Foglio 13
		Giovedì Aula G, ore 14-16	10/1/2019	TUTORAGGIO (con L. Oddis)
78	Settimana 14	Lunedì Aula 2, ore 9-11	14/1/2019	Esercizi dal foglio 13
80		Lunedì Aula 3, ore 16-18	14/1/2019	Esercizi dal foglio 13 e dal foglio 14
82		Martedì Aula 2, ore 11-13	15/1/2019	Esercizi dal foglio 14
		Martedì Aula E, ore 16-18	15/1/2019	TUTORAGGIO (con M. Trevisiol)
84		Mercoledì Aula 3, ore 15-17	16/1/2019	Esercizi dalle dispense
		Mercoledì Aula E, ore 17-18	16/1/2019	TUTORAGGIO (con M. Trevisiol)
		Giovedì Aula 1, ore 9-11	17/1/2019	TUTORAGGIO (con L. Oddis)
		Giovedì Aula G, ore 14-16	17/1/2019	TUTORAGGIO (con L. Oddis)
		Lunedì Aula E, ore 14-16	21/1/2019	TUTORAGGIO (con M. Trevisiol)
		Martedì Aula E, ore 15:30-17:30	29/1/2019	TUTORAGGIO (con M. Trevisiol)
		Lunedì Aula E, ore 14-16	4/2/2019	TUTORAGGIO (con M. Trevisiol)
		Lunedì Aula E, ore 14-16	11/2/2019	TUTORAGGIO (con M. Trevisiol)
		Venerdì Aula 2, ore 10-12	28/6/2019	TUTORAGGIO (con M. Trevisiol)
		Martedì Aula 1, ore 10-12	2/7/2019	TUTORAGGIO (con M. Trevisiol)
		Mercoledì Aula 1, ore 15-17	10/7/2019	TUTORAGGIO (con M. Trevisiol)

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