Programma di massima del corso
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Nozioni fondamentali.
Insiemi, applicazioni di insiemi, immagine e immagine inversa; relazioni di
equivalenza e insiemi quoziente.
Numeri naturali e induzione; numeri interi, razionali e reali; numeri
complessi, rappresentazione geometrica.
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Spazi vettoriali.
Spazio vettoriale numerico Rn (e Kn),
applicazioni lineari tra spazi vettoriali numerici, matrici, algebra delle
matrici, prodotto di una matrice con un vettore.
Immagine e nucleo di una matrice, sistemi lineari. Spazi vettoriali e
applicazioni lineari. Sottospazi vettoriali. Struttura di spazio vettoriale
sulle matrici e su Hom(V,W).
Combinazioni lineari, sottospazio generato (span),
indipendenza lineare, basi, dimensione. Estrazione di basi da un insieme di
generatori, completamento di insieme linearmente indipendenti a basi.
Sottospazi vettoriali tramite equazioni lineari oppure tramite sistemi di
generatori.
Immagine di una matrice e operazioni elementari sulle colonne; nucleo di una
matrice e operazioni elementari sulle righe. Riduzione di Gauss e calcolo di
nucleo e immagine di una matrice.
Formula per dim(ker(f))+dim(im(f)).
Immagine inversa di un sottospazio vettoriale. Somme e intersezioni di sottospazi
vettoriali, formula di Grassmann. Somma diretta.
Coordinate di un vettore rispetto ad una base. Rappresentazione di
un’applicazione lineari rispetto a basi date. Cambio di base e cambio di
coordinate.
Spazio vettoriale duale, base duale, dimensione. Spazio vettoriale quoziente, proiezione
canonica, basi, dimensione.
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Endomorfismi di spazi vettoriali.
Rappresentazione di endomorfismi, cambio di base, similitudine. Traccia di un
endomorfismo.
Volume con segno in Rn (idea
intuitiva). Determinante di una matrice come rapporto di volumi con segno.
Esempi in dimensione 1 e 2. Proprietà del determinante, unicità.
Gruppi di permutazioni di n elementi, proprietà elementari, parità. Formula
classica del determinante. Sviluppi di Laplace. Formula di Binet.
Determinante di un endomorfismo.
Formula di Cramer, inversa di una matrice.
Autovalori e autovettori, autospazi, molteplicità algebrica e geometrica.
Endomorfismi diagonalizzabili e triangolabili.
Polinomi valutati su endomorfismi.
Polinomio caratteristico, teorema di Cayley-Hamilton,
gli autospazi sono in somma diretta.
Criterio di diagonalizzabilità. Criterio di triangolabilità.
Polinomio minimo. Autospazi generalizzati, invarianza
e decomposizione in somma diretta di autospazi
generalizzati. Criterio di diagonalizzabilità via
polinomio minimo. Forma canonica di Jordan.