Algebra lineare (canale A-K)
Anno accademico 2019/2020

Diario delle lezioni

2	Settimana 1 23/9	Introduzione Numeri naturali (con lo zero) N, operazioni di somma e prodotto, proprietà, ordinamento, buon ordinamento Numeri interi Z e loro operazioni, struttura di anello commutativo con unità Moltiplicare per 0 in un anello dà 0 Esempi di anelli: Z[2^1/2],  Z[x], Z/12, Z/n, esistenza di divisori dello zero in Z/n se e sono se n non è primo Numeri razionali e loro operazioni, struttura di campo, nei campi non ci sono divisori dello zero, Z/p è un campo Esempi: Q[x] è un anello ma non un campo
5	24/9	Numeri reali come scritture decimali, proprietà di ordinamento e completezza Numeri complessi, parte reale e parte immaginaria, somma e moltiplicazione, coniugio, compatibilità del coniugio con somma e moltiplicazione Radici quadrate di un numero complesso in forma cartesiana Rappresentazione di un numero complesso nel piano di Gauss Modulo di un numero complesso, proprietà elementari del modulo, modulo di una somma e di un prodotto di numeri complessi, inverso di un numero complesso Numeri complessi di modulo 1 come circonferenza unitaria S^1, argomento di un numero complesso, forma polare di un numero complesso Prodotto di due numeri complessi in forma polare Radici n-esime di un numero complesso (non nullo), esempi
7	26/9	Angolo (nel piano di Gauss) tra vettori che rappresentano due numeri complessi non nulli Esercizi dal foglio 1
9	Settimana 2 30/9	Caratteristica di un campo, esempi Esempio di R^2: somma di vettori come composizione di spostamenti Gli spazi vettoriali numerici K^n, (K*)^n: operazioni di somma tra vettori e prodotto per scalare Definizione di spazio vettoriale su un campo K (proprietà 1-7) Esempi di spazi vettoriali: V={0V} su K qualunque, V=K^n o V=(K*)^n su K qualunque, V=C su K=R, V= Q[2^1/2] su K=Q, V={a+2^1/3: a,b in Q} su K=Q, V=K[x] e V= K[x]≤d su K qualunque, K^S con S insieme non vuoto su K qualunque Prodotto di due spazi vettoriali Proprietà addizionali degli spazi vettoriali (proprietà 8-13) Definizione di sottospazio vettoriale, esempio di sottospazio {0V} e di sottospazio H={xÎK^n:  a1x1+…+anxn=0} in K^n
12	1/10	Esempi di sottospazi vettoriali, classificazione dei sottospazi vettoriali di R^2Intersezione (qualunque) di sottospazi, somma finita di sottospazi, somma diretta di due sottospazi Combinazioni lineari, Span di un sottoinsieme qualunque di vettori, insiemi di generatori Spazi vettoriali finitamente generati e infinitamente generati, esempio di K^n e di K[x] e K[x]≤d
14	3/10	Esercizi dal foglio 2
16	Settimana 3 7/10	Esempi di generatori in R^2 e in R^3, esempio di generatori di un prodotto di spazi vettoriali Proprietà dello Span, Span dell’unione di due sottoinsiemi Indipendenza lineare di un sottoinsieme di vettori Esempi di insiemi linearmente indipendenti in K^n (insieme canonico), in K[x]≤d e esempio di insieme di tre vettori non linearmente indipendente in R^3 Esempio: un insieme di vettori linearmente indipendente non contiene il vettore nullo Combinazioni lineari, Span e indipendenza lineare per liste ordinate di vettori (analoghe alle definizioni per sottoinsiemi) Esempio: una lista linearmente indipendente di vettori non contiene due vettori uguali Esempio: insiemi linearmente indipendenti con 1 o 2 elementi Esempio: verifica dell’indipendenza lineare di un insieme di 3 vettori in R^3
19	8/10	Criterio induttivo per l’indipendenza lineare di una lista di n vettori (Lemma 4.5.3) Teorema dello scambio (se Span(A) contiene m vettori linearmente indipendenti, allora anche A contiene m vettori linearmente indipendenti) In uno spazio vettoriale generato da n elementi un sottoinsieme linearmente indipendente ha al più n elementi Sottospazi di spazi vettoriali finitamente generati sono finitamente generati Uno spazio vettoriale è infinitamente generato se e solo se contiene k-uple di vettori linearmente indipendenti per ogni k: esempio di V=K[x], e di V=C come spazio vettoriale su K=Q Definizione di base, liste (o insiemi) minimali di generatori, liste (o insiemi) linearmente indipendenti massimali Le basi sono liste minimali di generatori, e sono liste massimali linearmente indipendenti In uno spazio vettoriale finitamente generato V una lista linearmente indipendente di vettori può essere completata ad una base attingendo da un sottoinsieme dato di generatori, le basi di V hanno tutte la stessa cardinalità Definizione di dimensione Esempi di basi e di dimensione per V={0}, V=K^n e V=K[x]≤d, W sottospazio definito da x3=0 in R^3, V=C su K=R, V=R su K=Q Una lista B di vettori in V è una base di V se e solo se ogni vettore di V si scrive in modo unico come combinazione lineare di elementi in B
21	10/10	Esercizi dal foglio 3
23	Settimana 4 14/10	Esempio: base di V=C^n come spazio vettoriale su K=C e come spazio vettoriale su K=R Coordinate di un vettore di V rispetto ad una base di V Se V ha dimensione n e A è un insieme ordinato di n vettori, allora A è una base se e solo se i vettori in A sono linearmente indipendenti se e solo se A è un insieme di generatori. Dimensione di sottospazi vettoriali Semisemplicità degli spazi vettoriali di dimensione finita Formula di Grassmann
26	15/10	Definizione di applicazione lineare, esempi (applicazione nulla, applicazione identità, omotetie, proiezioni da K^n a K, applicazioni lineari da K a K, una applicazione lineare da K^2 a K^2, valutazione di una funzione in un punto, valutazione di un polinomio in un punto, inclusione di un sottospazio vettoriale, proiezione da un prodotto su uno dei fattori, proiezione di una somma diretta su un addendo), il coniugio su V=C è lineare per K= R, ma non è lineare se K=C Una f lineare manda 0 in 0, opposti in opposti e rispetta le combinazioni lineari La composizione di applicazioni lineari è lineare; la restrizione di una applicazione lineare ad un sottospazio del dominio è lineare Isomorfismi lineari, una applicazione lineare è un isomorfismo se e solo se è biiettiva Le applicazioni lineari iniettive mandano vettori linearmente indipendenti in vettori linearmente indipendente; le applicazioni lineari suriettive mandano generatori in generatori; gli isomorfismi mandano basi in basi Il dominio di una applicazione lineare suriettiva ha dimensione grande almeno quanto quella del codominio; inoltre, spazi vettoriali isomorfi hanno la stessa dimensione Nucleo di una applicazione lineare f, il nucleo è un sottospazio Immagine di una applicazione lineare, immagine di un sottospazio del dominio tramite una applicazione lineare; l’immagine è un sottospazio vettoriale
28	17/10	Esercizi dal foglio 4
30	Settimana 5 21/10	Il nucleo di una applicazione lineare f è {0} se e solo se f è iniettiva Definizione di rango, teorema del rango, esempi e controesempi Le applicazioni lineari sono caratterizzate dal loro comportamento su una base Matrici, spazio vettoriale delle matrici n per m, prodotto di una matrice per un vettore, esempi
33	22/10	Matrice MF associata ad una applicazione lineare F da K^m a K^n Applicazione lineare LA associata ad una matrice A Struttura di spazio vettoriale su Hom(V,W) e sullo spazio delle matrici Mn,m(K) Corrispondenza tra matrici e applicazioni lineari tra spazi vettoriali numerici: isomorfismi L e M Descrizione del nucleo e dell’immagine di LA Composizione di applicazioni lineari, prodotto di matrici e relazione LBA=LBLA Associatività della composizione di applicazioni tra insiemi, associatività del prodotto tra matrici Base canonica dello spazio delle matrici Mn,m(K), dimensione di Mn,m(K) e di Hom(K^m, K^n)
35	24/10	Esercizi foglio 5
37	Settimana 6 28/10	Ker(LA) e soluzioni del sistema omogeneo AX=0 Risoluzione di sistemi lineari AX=b (anche non omogenei), spazio delle soluzioni come traslato di ker(LA), teorema di Rouché-Capelli Matrici a scala, pivot e colonne pivot; risoluzione di sistemi lineari a scala, insieme delle soluzioni e sua dimensione Operazioni elementari sulle righe, matrici equivalenti per righe Se A,B sono matrici equivalenti per righe, allora ker(LA)=ker(LB); inoltre, se alcune colonne di B sono linearmente dipendenti, allora le corrispondenti colonne di A sono linearmente dipendenti Riduzione a scala di una matrice tramite operazioni elementari sulle righe (eliminazione di Gauss) Calcolo di una base di ker(LA) e di Im(LA) usando la riduzione a scala di A tramite operazioni elementari sulle righe, esempio
40	29/10	Calcolo di una base di U partendo da un sistema di generatori Calcolo di una base di U+W partendo da un sistema di generatori per U e un sistema di generatori per W Calcolo di una base dell’intersezione di U e W partendo da una base di U e una base di W Equazioni cartesiane e insiemi minimali di equazioni cartesiane per un sottospazio vettoriale di K^n Calcolo di un insieme minimale di equazioni cartesiane per ker(LA) e di Im(LA) Matrici quadrate invertibili n´n, matrici inverse Verifica di invertibilità usando l’eliminazione di Gauss, esempio nel caso n=2 Matrici elementari, inverse di matrici elementari Operazioni elementari sulle righe come moltiplicazione a sinistra per matrici elementari Algoritmo di riduzione di Gauss-Jordan nel caso generale Uso di Gauss-Jordan per calcolare l’inversa di una matrice invertibile
42	31/10	Esercizi foglio 6 Esempio di matrici A,B tali che AB=0 ma BA diversa da 0 Traccia di una matrice, linearità e suriettività; Tr(AB)=Tr(BA) Trasposta di una matrice, (AB)^T=B^TA^T
44	Settimana 7 4/11	Passaggio alle coordinate rispetto ad una base, esempi Matrice che rappresenta una applicazione lineare rispetto a basi date (in partenza e in arrivo), esempi Matrice di cambio di base e sua invertibilità, esempio Matrice che rappresenta la composizione di due applicazioni lineari Scelte basi B=(v1,…,vn) di V e C=(w1,…,wm) di W, isomorfismo lineare tra Hom(V,W) e lo spazio delle matrici m´n
47	5/11	Prova in itinere autovalutativa
	7/11	Lezione cancellata
49	Settimana 8 11/11	Duale V^v di uno spazio vettoriale V, duale di K^n e sua base canonica Data una base B di V, sottoinsieme linearmente indipendente B^v di V^v Se V ha dimensione finita, base B^v di V^v duale della base B di V Esempio: passaggio alle coordinate e base duale; controesempio per V=R[t] Per ogni vettore v non nullo in V, esiste un funzionale j tale che j(v)=1 Suriettività e iniettività dell’applicazione F:V®K^r definita come F=(j1,…, jr)^T Applicazione duale F^v di una applicazione lineare F, composizione di applicazioni duali Rispetto alle basi duali F^v è rappresentata dalla trasposta della matrice che rappresenta F Esempio: (AB)^T=B^TA^TApplicazione lineare iniettiva canonica i:V®V^vv che manda v in evv, isomorfismo se V ha dimensione finita
52	12/11	Annullatore Ann(S) di un sottoinsieme S di V, proprietà Luogo di zeri Z(A) di un sottoinsieme A di V^v, proprietà Se V ha dimensione finita, Ann e Z danno una biiezione tra sottospazi vettoriali di V e sottospazi vettoriali di V^v (e in effetti Ann e Z sono una l’inversa dell’altra) Se V ha dimensione finita e S è un sottospazio vettoriale di V, dim(Ann(S))+dim(S)=dim(V) Se V ha dimensione finita e A è un sottospazio vettoriale di V^v, dim(A)+dim(Z(A))=dim(V) Esercizi foglio 7
54	14/11	Per una qualunque applicazione lineare F, si ha Ann(Im(F))=ker(F^v) e Ann(ker(F))=Im(F^v) Per una matrice, rango per righe=rango per colonne, un altro metodo di calcolo per equazioni cartesiane che descrivono l’immagine di LA Idea del determinante di una matrice quadrata come rapporto di volumi con segno, formula a mano nel caso 2x2, significato geometrico della multi-linearità Definizione di determinante con l’espansione di Laplace lungo la prima riga Calcolo del determinante per una matrice con una colonna nulla, e per una matrice triangolare superiore Definizione di applicazione multi-lineare e multi-linearità del determinante
56	Settimana 9 18/11	Il determinante è alternante, e inoltre det(I)=1 Proprietà (D1-D9) e caratterizzazione delle funzioni dn:Mnn(K) ®K multilineari alterne sulle colonne Permutazioni, trasposizioni, segno di una permutazione, formula per dn usando le permutazioni Unicità del determinante, determinante della matrice trasposta, teorema di Binet
59	19/11	Sviluppi di Laplace del determinante rispetto a qualunque riga o colonna Determinante e eliminazione di Gauss Matrici triangolari a blocchi, determinante di una matrice triangolare a blocchi Matrici con entrate intere o polinomi Determinante di Vandermonde, inversa intera di una matrice A a entrate intere e con |det(A)|=1 Matrice dei cofattori, inversa di una matrice con il metodo di Cramer Rango della matrice dei cofattori Risoluzione di un sistema lineare quadrato con il metodo di Cramer Relazioni di equivalenza ~ sull’insieme X Esempi: tutti gli elementi equivalenti tra loro, ciascun elemento equivalente solo a se stesso, X={coppie (a,b) di numeri interi con b non nullo} e relazione (a,b)~(c,d) se ad=bc, X=Z e n~m se q divide n-m (con q intero maggiore di 1 fissato) Classi di equivalenza [x], partizione di X in classi di equivalenza, insieme quoziente X/~, esempio di Q e di Z/q Richiamo: passaggio in coordinate e cambio di coordinate per un endomorfismo F (con la STESSA base in partenza e in arrivo) Problema: trovare quantità indipendenti da B associate alla matrice che rappresenta F rispetto ad una base B (sia in partenza che in arrivo), per esempio il determinante
61	21/11	Esercizi foglio 8
63	Settimana 10 25/11	Fibra di una applicazione Combinazioni affini, sottospazi affini di spazi vettoriali, applicazioni affini tra spazi affini, traslazioni, esempi Giacitura di un sottospazio affine, biiezione tra sottospazio affine e sua giacitura, dimensione di un sottospazio affine Immagine inversa di un sottospazio affine tramite una applicazione affine Fibra di una applicazione lineare e sua giacitura, esempi, sistemi lineari non omogenei V/U come insieme dei sottospazi affini di V con giacitura U, struttura di spazio vettoriale su V/U Struttura di spazio quoziente V/~ su V/U, proiezione canonica V®V/U lineare e suriettiva
66	26/11	Descrizione delle applicazioni affini tra spazi vettoriali come composizione di una trasformazione lineare seguita da una traslazione L’identificazione tra un sottospazio affine e la sua giacitura è una applicazione affine invertibile L’inversa di una applicazione affine invertibile è affine Riepilogo su spazi vettoriali quoziente V/U, proiezione canonica da V a V/U, suo nucleo Dimensione e basi di V/U, esempio Esempio: fibre dell’applicazione lineare D:C^1(R,R)®C^o(R,R) data dalla derivazione, primitiva di una funzione continua Endomorfismi e automorfismi di uno spazio vettoriale V Definizione di gruppo, esempi: spazi vettoriali (V,+), (Z,+), (K,+), (K\{0},moltiplicazione) Definizione di GL(V), esempio GLn(K)=GL(K^n), struttura di gruppo su GL(V) Similitudine tra matrici quadrate, la similitudine è una relazione di equivalenza Le matrici che rappresentano un endomorfismo (rispetto alla stessa base in partenza e in arrivo) sono tutte simili tra loro Il rango, la traccia e il determinante di matrici quadrate sono invarianti per similitudine, definizione di traccia e determinante per un endomorfismo Esempi di matrici non simili tra loro; matrici diagonali con gli stessi elementi sulla diagonale (in ordine diverso) sono simili tra loroò i multipli della matrice unità In sono simili soltanto a se stessi Valutazione q(A) di un polinomio q(t) su una matrice quadrata A Se A,B sono matrici simili e q è un polinomio, allora q(A) e q(B) sono simili Autovettori e autovalori di un endomorfismo Polinomio caratteristico pA(t) di una matrice quadrata A, invarianza per similitudine del polinomio caratteristico di una matrice Polinomio caratteristico pf(t) di un endomorfismo f, gli autovalori di f sono le radici del polinomio caratteristico pf(t) Comunicazione codice OPIS per il questionario sulle opinioni degli studenti, tempo per la compilazione
68	28/11	Esercizi foglio 9
70	Settimana 11 2/12	Valutazione di un polinomio su un endomorfismo, prodotto di polinomi e composizione di endomorfismi Lemma di Bézout (solo enunciato e dimostrazione quando uno dei due polinomi ha grado 1) Polinomio caratteristico di matrici diagonali, triangolari, e triangolari a blocchi Termini di grado n, n-1 e 0 nel polinomio caratteristico di f:V®V (se n=dim(V) ) Definizione di endomorfismo diagonalizzabile; LA diagonalizzabile se e solo se A è simile ad una matrice diagonale Definizione di autospazio Vλ associato a λ, gli autospazi sono sottospazi vettoriali Definizione di molteplicità geometrica mλ e molteplicità algebrica mλ di λ per l’endomorfismo f λ è autovalore per f se e solo se mλ>0 se e solo se mλ>0 Gli autospazi sono in somma diretta; inoltre mλ≤mλ Se D è una matrice diagonale, allora mλ=mλ per tutti i λ e la somma di tutti gli mλ dà dim(V) Esempi di matrici con mλ<mλ, esempi di matrici reali senza autovalori
73	3/12	f:V®V (n=dim(V) ) è diagonalizzabile Û la somma diretta degli autospazi di f coincide con V Û Σmλ = dim(V) pf è completamente riducibile Û Σμλ = dim(V) Se f è diagonalizzabile, allora pf è completamente riducibile Se pf è completamente riducibile e con tutte radici semplici, allora f è diagonalizzabile Esempi Esempio della trasposizione di matrici quadrate Definizione di matrice simmetrica e matrice antisimmetrica, base canonica del sottospazio delle matrici simmetriche, base canonica del sottospazio delle matrici antisimmetriche Sottospazi invarianti per un endomorfismo f Restrizione di f ad un sottospazio f-invariante Esempi, i sottospazi di autospazi sono f-invarianti, somma o intersezione di sottospazi f-invarianti è f-invariante Sottospazio f-ciclico Cv generato da un vettore v, f-invarianza di Cv, base standard di Cv Esempio di sottospazio f-ciclico e di una sua base Esempio di un sottospazio f-ciclico di dimensione infinita (dentro un spazio V di dimensione infinita) Matrici compagne, polinomio caratteristico di una matrice compagna La matrice che rappresenta la restrizione di f a un sottospazio f-ciclico è una matrice compagna
75	5/12	Esercizi foglio 10
77	Settimana 12 9/12	Teorema di Cayley-Hamilton per matrici compagne e per sottospazi f-ciclici Restrizione di un endomorfismo di V a un sottospazio f-invariante W e al quoziente V/W, relazione tra i polinomi caratteristici e tra le matrici che rappresentano tali endomorfismi Teorema di Cayley-Hamilton Esempio: matrice triangolare superiore T, sottospazio T-invariante Span(e1,…ek), polinomio caratteristico di T Bandiere complete e definizione di triangolabilità di un endomorfismo Triangolabilità di endomorfismi e bandiere complete di sottospazi f-invarianti Un endomorfismo è triangolabile se e solo se il suo polinomio caratteristico è completamente fattorizzabile
80	10/12	Esempio: dimostrare che A è triangolabile e trovare una base che la triangola Enunciato del teorema fondamentale dell’algebra, completa fattorizzabilità dei polinomi complessi (da ora in poi, V finitamente generato) Definizione di ideale If dei polinomi che si annullano quando valutati sull’endomorfismo f:V®V Se V ha dimensione n, allora esiste un polinomio non nullo di grado al più n^2 in If Per Cayley-Hamilton, il polinomio caratteristico pf appartiene a If Definizione di polinomio minimo qf, l’ideale If consiste esattamente dei multipli di qf Se r è divide qf, allora r(f) non è invertibile λ è autovalore di f se e solo se λ è radice di qf f è diagonalizzabile se e solo se qf=(t-λ1)(t-λ2)•••(t-λk) Esempi: proiezioni (f^2=f), riflessioni (f^2=I) Sia W sottospazio f-invariante di V e sia q’ il polinomio minimo della restrizione di f a W, q’’ il polinomio minimo dell’endomorfismo di V/W indotto da f. Allora qf divide il prodotto q’q’’ ed è diviso dal mcm(q’,q’’). Definizione di Vr(f)=ker(r(f)) Se r è un polinomio irriducibile che divide pf, allora r divide qf Se pf=(r1)^a1•••(rk)^ak con ai>0, allora qf=(r1)^b1•••(rk)^bk con 0<bi≤ai
82	12/12	Esercizi foglio 11
84	Settimana 13 16/12	Dato h polinomio, ker(h(f)) e Im(h(f)) sono f-invarianti Se r non ha fattori in comune con h, allora la restrizione di r(f) a ker(h(f)) è invertibile Teorema di decomposizione primaria Autospazi generalizzati Polinomi valutati su matrici a blocchi Esempi
87	17/12	Endomorfismi nilpotenti f:V®V (con dim(V)=n), indice di nilpotenza, indice di nilpotenza di un vettore Proprietà base degli endomorfismi nilpotenti Osservazioni su endomorfismi cf e f+bI ottenuti da f, inversa di I-f con f nilpotente Esempi: matrici a blocchi triangolari superiori, blocco di Jordan nilpotente Jk di ordine k Catena di sottospazi {0}=ker(f^0)Íker(f)Íker(f^2) Íker(f^3) Í… e {0}=Im(f^n)ÍIm(f^n-1) ÍIm(f^n-2)Í… Invarianti ak=dim(ker(f^k))-dim(ker(f^k-1)) con a1³a2³a3³…³as=0, e bk=ak-ak+1³0 Partizione a·=(a1,a2,…): a1+a2+…+an=n e dim(ker(f^k))= a1+a2+…+ak Diagramma di Young associato alla partizione a·, con bk colonne di lunghezza k Esempio di costruzione della base di Jordan di una f nilpotente con data partizione a· Se f è nilpotente, esiste una base rispetto alla quale f si rappresenti con una matrice in forma di Jordan, con bk blocchi di Jordan Jk Se A,B sono matrici n´n nilpotenti, allora A,B sono simili se e solo se dim(ker(A^k))=dim(ker(B^k)) per ogni k=1,…,n
89	19/12	Forma canonica di Jordan generale a partire da quella per endomorfismi nilpotenti Esercizi foglio 12
	Settimana 14 7/1	LEZIONE CANCELLATA
91	9/1	Altri esercizi su potenze di matrici e forma di Jordan
93	Settimana 15 13/1	Esercizi

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