Topologia algebrica
Anno accademico 2014/2015

Diario delle lezioni

Settimana 1	Lunedì	29/09/2014	Richiami di omologia singolare (a coefficienti in un gruppo abeliano) Linguaggio: categorie (esempi: spazi topologici, varietà differenziabili, gruppi, gruppi abeliani, spazi vettoriali su un campo fissato, moduli su un anello fissato, algebre su un campo fissato, etc.) e funtori Coppie di spazi topologici, omologia singolare relativa Funtorialità dell’omologia singolare, enunciato degli assiomi di Eilenberg-Steenrod (coppia, unione disgiunta, omotopia, escissione, dimensione) Esempio: gruppo 0-esimo di omologia relativa
	Giovedì	02/10/2014	Omologia di (D^n,∂D^n) e di (M,M-{x}) Relazione fra omologie di (X,A) e (X/A,a) Teorema di Hurewicz: dimostrazione e esempi Coomologia singolare: definizione e enunciazione degli assiomi di Eilenberg-Steenrod Catene e omologia adattate ad un ricoprimento U: enunciato (*) di H^U(X)=H(X) Dimostrazione dell’escissione e di Mayer-Vietoris usando (*)
Settimana 2	Lunedì	06/10/2014	Operatore di suddivisione baricentrica Dimostrazione dell’isomorfismo (*): H^U(X;G)=H(X;G) CW complessi: definizione e esempi (S^n, RP^n, CP^n, superficie Σg compatta orientata di genere g, bottiglia di Klein) Osservazioni sulla topologia dei CW complessi (X localmente compatto in un punto x se e solo se localmente finito in x se e solo se x ha un sistema fondamentale di intorni numerabile; X metrizzabile se e solo se localmente finito in ogni suo punto)
	Giovedì	09/10/2014	Omologia e coomologia cellulari Calcoli per sfere e spazi proiettivi
Settimana 3	Lunedì	13/10/2014	Calcolo del bordo in omologia cellulare; omologia cellulare intera dello spazio proiettivo reale Caratteristica di Eulero (per spazi omotopicamente equivalenti a CW complessi finiti) Sottocomplessi cellulari, additività della caratteristica di Eulero Struttura cellulare di un prodotto di CW complessi, moltiplicatività della caratteristica di Eulero Esercizi 1.1, 1.5, 2.3
	Giovedì	16/10/2014	Fibrazioni topologiche, moltiplicatività della caratteristica di Eulero Enunciato del teorema dei coefficienti universali in omologia e coomologia Prodotto tensore di A-moduli, esattezza a destra (da finire) Moduli liberi e moduli proiettivi Esattezza del prodotto tensore per un proiettivo (solo enunciato) Esistenza di risoluzioni proiettive a meno di omotopia (solo enunciato) Definizione e successione esatta lunga dei Tor (caso dei gruppi abeliani: successione con 6 termini)
Settimana 4	Lunedì	20/10/2014	Prodotto tensore e esattezza Moduli proiettivi e liberi, risoluzioni proiettive Sollevamento di omomorfismi a risoluzioni proiettive (unicità a meno di omotopia) Buona definizione del Tor; moduli proiettivi e Tor Esempi con A PID e con A=Z Teorema dei coefficienti universali in omologia (con dimostrazione)
	Giovedì	23/10/2014	Prodotto tensore di due complessi di A-moduli: grado totale e differenziale Teorema di Künneth (con dimostrazione) Esempio di RP^2x RP^2 Funtori Hom(M,-) e Hom(-,N); esattezza a sinistra di Hom(-,N) G gruppo abeliano divisibile ó iniettivo
Settimana 5	Lunedì	27/10/2014	Ogni gruppo abeliano si immerge in un gruppo divisibile Ogni A-modulo si immerge in un A-modulo iniettivo; risoluzioni iniettive; definizione di Ext Sollevamenti di omomorfismi a risoluzioni iniettive (a meno di omotopia), buona definizione dell’Ext (senza dimostrazione) Successione esatta lunga degli Ext (senza dimostrazione) Definizione equivalente degli Ext con risoluzioni proiettive (senza dimostrazione) Esempi di Ext con A=Z Teorema dei coefficienti universali in coomologia (senza dimostrazione) Definizione di cross-product in omologia e coomologia cellulare, commutatività Mappe cellulari e omomorfismo indotto sulle (co)catene cellulari Teorema di approssimazione cellulare (solo enunciato, per ora) Funtorialità del cross-product per applicazioni cellulari, indipendenza dalla cellularizzazione
	Giovedì	30/10/2014	Cross-product in coomologia cellulare, segni, funtorialità Struttura di algebra sul prodotto e sul prodotto tensore di R-algebre Cup product (in coomologia anche relativa, a coefficienti in un anello R commutativo con unità), funtorialità, unità, commutatività graduata Cup product di una unione disgiunta, di un bouquet e di un prodotto Cup product di sfere e di prodotti di sfere Cup product di una superficie connessa, compatta e orientabile di genere g Cup product di RP^n a coefficienti in Z/2
Settimana 6	Lunedì	03/11/2014	Esercizi del foglio 4
	Giovedì	06/11/2014	Lezione annullata per pioggia (!)
		10-14/11/2014	Prove in itinere
Settimana 7	Lunedì	17/11/2014	Suddivisione del prodotto di due simplessi Cross-product e cup product in coomologia singolare Cross-product in coomologia di de Rham Anello di coomologia singolare (a coefficienti reali) e anello di coomologia di de Rham Complessi simpliciali e realizzazione geometrica; struttura cellulare naturale; triangolazioni Omologia e coomologia simpliciali, cup-product in coomologia simpliciale Cap-product: definizione e formula di push-pull (senza verifiche) Definizione di R-varietà e R-orientazione, dualità di Poincaré per R-varietà (solo enunciato)
	Giovedì	20/11/2014	Insiemi semisimpliciali, esempio di calcolo diretto del cup product Ridefinizione di R-varietà, fibrato delle R-orientazioni locali, ridefinizione di R-orientazione Le varietà differenziabili sono R-varietà; una orientazione di una varietà differenziabile definisce una R-orientazione (per qualunque R) Relazione fra R-orientazioni (su una varieta` differenziabile M di dim=n) e elementi di Hn(M,M-K;R) con K compatto; annullamento di Hq(M,M-K;R) per q>n
Settimana 8	Lunedì	24/11/2014	Varietà (compatte e non compatte) di dimensione n, Hn(M;R) e Hi(M;R) con i>n Proprietà universale della somma diretta (di gruppi abeliani) e dell’unione disgiunta (di spazi topologici) Insiemi parzialmente ordinati diretti; sistemi diretti di oggetti in una categoria (es.: sistemi diretti di spazi topologici, sistemi diretti di R-moduli); limiti diretti Limite di Hi(Xγ;R), dove {Xγ | γ in I} e` un sistema diretto di sottospazi di X
	Giovedì	27/11/2014	Coomologia a supporto compatto e cap product con la classe fondamentale Successione di Mayer-Vietoris per la coomologia a supporto compatto e compatibilità con il cap product per la classe fondamentale (da dimostrare) Dualità di Poincaré fra coomologia a supporto compatto e omologia (con dimostrazione) χ(M)=0 per varietà compatte M di dimensione dispari Hn-1(M;Z) di varietà M compatte (orientabili e non orientabili) di dimensione n Orientabilità di sottovarietà di codimensione 1 di varietà M compatte orientabili con H1(M;Z)=0
Settimana 9	Lunedì	01/12/2014	Successione di Mayer-Vietoris per la coomologia a supporto compatto e compatibilità con il cap product per la classe fondamentale (dimostrazione) Accoppiamento non degenere indotto dalla dualità di Poincaré, unimodularità Varietà orientate M di dim(M)=4k: segnatura σ(M) della forma bilineare simmetrica su H^2k(M;R) Varietà orientabili M di dim(M)=4k che sono bordi di varietà orientabili: χ(M)= σ(M)=0 Esempio: CP^2k non è un bordo di una varietà orientabile; la somma connessa orientabile di copie di CP^2 non è bordo di una varietà orientabile
	Giovedì	04/12/2014	Lezione cancellata
Settimana 10	Giovedì	11/12/2014	Prop. CW-complessi sono omotopicamente equivalenti a complessi simpliciali (enunciato) Prop. Varietà differenziabili sono omeomorfe a complessi simpliciali Prop. Sottoinsiemi compatti e localmente contraibili di uno spazio euclideo sono retratti di un complesso simpliciale finito (enunciato): tra questi ci sono i CW-complessi finiti Numero di Lefschetz: definizione e integralità Teorema di punto fisso di Lefschetz (enunciato) Suddivisione baricentrica di un complesso simpliciale e realizzazione geometrica standard Stella aperta e chiusa di un vertice e di un simplesso di un complesso simpliciale Mappe simpliciali e omomorfismo indotto in omologia simpliciale Teorema di approssimazione simpliciale (con dimostrazione)
	Lunedì	15/12/2014	Teorema di punto fisso di Lefschetz (con dimostrazione) Esempio 1: Una varietà compatta M con un campo vettoriale mai nullo ha χ(M)=0 Esempio 2: Ogni mappa da un CW complesso finito contraibile in sé ha un punto fisso Esempio 3: L’involuzione σ di una superficie di Riemann iperellittica ha L(σ)=2g+2 Esempio 4: Sia K complesso simpliciale finito e f omeomorfismo simpliciale di |K| in sé. Allora L(f)= χ(Fix(f)). Teorema di invarianza del dominio (enunciato) Teorema della curva di Jordan generalizzato: il complementare di una S^n-1immersa in S^n tramite una embedding continua ha due componenti connesse aperte, ciascuna con omologia ridotta banale (solo enunciato) Controesempio della sfera cornuta di Alexander (menzione rapida senza verifiche): una componente del complementare non è semplicemente connessa
Settimana 11	Martedì	16/12/2014	Il complementare di un disco in una sfera è aciclico Omologia del complementare di una sfera in una sfera Mappe continue iniettive da S^n a R^m hanno n<m, da R^n a R^m hanno n≤m Teorema di invarianza del dominio (con dimostrazione) Punti critici e valori critici di un’applicazione liscia tra varietà Lemma di Sard (solo enunciato) Classe fondamentale di una sottovarietà liscia e orientata Idea della teoria dell’intersezione come duale del cup product
	Giovedì	18/12/2014	Lemma di Sard (solo enunciato) Se M, N sono lisce, f:M → N è liscia e q è un valore regolare, allora Z=f ^-1(q) è una sottovarietà liscia di dimensione dim(M)-dim(N). Se inoltre M e N sono orientate, Z è orientata in modo naturale. Se inoltre M e N sono compatte e ω è un generatore di H^n(N;Z), allora μZ è il duale di Poincaré di f ^*ω. Ogni classe in H^1(M;Z) è rappresentata da una 1-forma differenziale chiusa con periodi interi che si ottiene come pull-back della 1-forma θ tramite una mappa f: M → S^1 Se M è compatta e orientata, il duale di Poincaré di una classe in H^1(M;Z) è rappresentato da una sottovarietà chiusa e orientata di codimensione 1, ottenuta come f ^-1(q) con q valore regolare per f Ogni classe in H^2(M;Z) è pull-back del generatore di H^2(CP^∞;Z) tramite una mappa continua f:M →CP^∞ (solo enunciato) Teorema di approssimazione cellulare (solo enunciato) Mappe continue tra varietà sono approssimate da mappe lisce, che sono quindi a loro omotope (solo enunciato per ora) Ogni classe in H^2(M;Z) è rappresentata da una 2-forma differenziale chiusa con periodi interi che si ottiene come pull-back della 2-forma ωFS di Fubini-Study tramite una mappa liscia f: M →CP^n, con 2n≥dim(M) Problema: la ωFS è duale di Poincaré della classe fondamentale di un iperpiano complesso H, ma f ^-1(H) potrebbe non essere una sottovarietà liscia Definizione di applicazione f:M →N (liscia) trasversa ad una sottovarietà Z (liscia) di N Se f è trasversa a Z, allora f ^-1(Z) è una sottovarietà liscia di dimensione dim(M)-dim(N)+dim(Z).
			Sospensione natalizia
Settimana 12	Giovedì	08/01/2015	Teorema di immersione di Whitney (per varietà compatte) Teorema dell’intorno tubolare (per varietà compatte immerse in R^k) Date sottovarietà (chiuse e orientate) Z1, Z2 di una varietà P (compatta, connessa e orientata), il loro prodotto di intersezione può essere rappresentato da un ciclo Z1·Z2 che soddisfa Supp(Z1·Z2) Ì Z1 Ç Z2
Settimana 13	Lunedì	12/01/2015	Teorema di trasversalità parametrica e applicazioni Orientazione del fibrato normale a una sottovarietà orientata Z di una varietà orientata P Classe di Thom di un fibrato in dischi e isomorfismo di Thom Orientazione dell’intersezione Z1 Ç Z2 di due sottovarietà orientate Z1,Z2 traverse di una varietà P orientata Ciclo di intersezione [Z1]·[Z2]= [Z1 Ç Z2], con Z1,Z2 sottovarietà chiuse, orientate e trasverse di una varietà P compatta e orientata Esempi di intersezioni in una superficie compatta e orientata Σ di genere g Decomposizione della diagonale Δ in Σ´Σ Classe di omologia di una ipersuperficie proiettiva di grado d
	Giovedì	15/01/2015	Classe di Eulero di un fibrato vettoriale W orientato; intersezione di due sezioni di W Classe di Thom della diagonale Δ in Z´Z, con Z varietà compatta, orientata Classe di Eulero del fibrato tangente di Z e caratteristica di Eulero di Z Numero di Lefschetz di un endomorfismo f di Z come intersezione del grafico Γf con Δ in Z´Z Segno dell’intersezione [Γf]·[Δ] in un punto z di Γf Ç Δ e segno di det(1-dfz) Zeri (non degeneri, isolati) di campi vettoriali su Z e caratteristica di Eulero (Poincaré-Hopf)

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