Variabile Complessa (6 CFU) 2014/2015

Flavia Lanzara

Inizio delle lezioni: martedì 3 marzo 2015
Orario delle lezioni
martedì 11:00-13:00 Aula 5 - Dipartimento di Matematica
giovedì 11:00-13:00 Aula 5 - Dipartimento di Matematica

Testi di Riferimento

G. Fichera - L. De Vito, Funzioni analitiche di una variabile complessa, Editrice Veschi, 1987



F. Lanzara, Funzioni di una variabile complessa: elementi di teoria ed esercizi svolti, Edizioni LaDotta , 2015.
Errata Corrige

Date degli esami
Primo esonero: 24 aprile 2015 - Aula 3 - ore 11:00
La durata dell'esonero è di due ore. Ci vediamo alle 10:45 in aula in modo da iniziare puntuali.
Secondo esonero: 8 giugno 2015 - Aula 4 - ore 14:00 Testo       Soluzione    
Gli studenti che intendono spostare l'esame orale sono pregati di comunicarmelo per email. Comunicherò ora e aula in cui si svolgeranno gli esami orali il giorno prima.
Scritto di giugno: 17 giugno 2015 - Aula 5 - ore 9:30 Testo        
Scritto di luglio: 8 luglio 2015 - Aula 2 - ore 10:30     Testo
Scritto di settembre (primo appello): 9 settembre 2015 - Aula 3 - ore 14:30 Testo
Gli esami orali si svolgeranno il 14 settembre o nel secondo appello di settembre
Scritto di settembre (secondo appello): 24 settembre 2015 - Aula 2 - ore 9:30 Testo
Scritto di gennaio: martedì 26 gennaio 2016 - Aula Cabibbo - Nuovo Edificio di Fisica E.Fermi - ore 9:15

Appello straordinario (per gli studenti che ne hanno fatto richiesta in segreteria didattica): martedì 19 aprile 2016 - ore 9:30 - Aula 5 - Dipartimento di Matematica. È obbligatorio prenotarsi su InfoStud.

Argomento delle lezioni
Gli argomenti dell'orale corrispondono a quelli svolti a lezione e sono indicati nel seguente diario:

Mar 03-03-15: Richiami sui numeri complessi: rappresentazione cartesiana e trigonometrica;disuguaglianza triangolare; formula di De Moivre; radici n-me. Successioni di numeri complessi. Funzioni di una variabile complessa: limite, continuità e differenziabilità.
Gio 05-03-15: Derivata complessa. Funzioni olomorfe e loro proprietà elementari. Condizioni di Cauchy-Riemann. Esponenziale, funzioni trigonometriche e iperboliche in campo complesso. Inversa dell'esponenziale: definizione di Log z.
Mar 10-03-15: Proprietà di Log z. Insieme di continuità e campo di olomorfia della determinazione principale del logaritmo: log z. Esempi. Definizione della potenza complessa z^w e studio della determinazione principale. Esempi. Definizione di Arcsin z e arcsin z. Campo di olomorfia di arcsin z. Definizione di Arctg z e arctg z. Campo di olomorfia di arctg z. Per esercizio: Arccos z e arccos z.
Gio 12-03-15: Integrale curvilineo complesso lungo un arco di curva regolare orientato. Domini regolari. Formula di Gauss-Green (richiamo). Lemma tecnico. Primo teorema integrale di Cauchy. Teorema di Goursat (inizio dimostrazione).
Mar 17-03-15: Dimostrazione del teorema di Goursat. Corollario sull'esistenza delle derivate di ogni ordine. Secondo teorema integrale di Cauchy. Formula per le derivate.
Gio 19-03-15: Esercizi sui teoremi integrali di Cauchy. Integrale di sinx/x sul semiasse reale.
Mar 24-03-15: Integrali di Fresnel. Teorema di Morera. Funzioni olomorfe e funzioni armoniche. Esercizi.
Gio 26-03-15: Serie di potenze. Teorema di Cauchy-Hadamard. Disuguaglianza di Brunacci-Abel. Teorema di Abel.
Mar 31-03-15: Teorema di Picard. Esercizi. Raggio di convergenza della serie derivata. Serie di potenze e serie di Taylor.
Gio 9-04-15: Sviluppabilità in serie di potenze di una funzione olomorfa. Esercizi. Primo principio d'identità delle funzioni olomorfe.
Mar 14-04-15: Secondo principio d'identità delle funzioni olomorfe. Teorema di Liouville. Teorema fondamentale dell'algebra. Estensione del teorema di Liouville.
Gio 16-04-15: Serie di Laurent. Teorema di Laurent.
Ven 24-04-15: Prova in itinere. Testo   Soluzione
Mar 28-04-15: Sviluppo in serie di una funzione olomorfa intorno a una singolartià isolata. Parte regolare e parte singolare. Classificazione delle singolarità isolate. Esempi.
Gio 30-04-15: Caratterizzazione delle singolarità polari. Esempi. Relazione tra gli zeri e i poli di f e quelli di 1/f. Esempi. Caratterizzazione delle singolarità polari con il minimo limite.
Mar 05-05-15: Caratterizzazione delle singolarità essenziali. Comportamento di una funzione intorno ad una singolarità essenziale: teorema di Casorati-Weierstrass e secondo teorema di Picard (senza dim.). Teorema di De L'Hopital.
Gio 07-05-15: Definizione di residuo. Calcolo di residui. Teorema dei residui. Esercizi.
Mar 12-05-15: Esercizi. Comportamento all'infinito di una funzione olomorfa. Residuo all'infinito. Esempi.
Gio 14-05-15: Teorema dei residui in domini illimitati. Esercizi. Formula di decomposizione di funzioni razionali in funzioni razionali semplici. Integrazione di funzioni razionali in sin t e cos t nell'intervallo [0,2pi].
Mar 19-05-15: Applicazione del teorema dei residui al calcolo di integrali impropri: integrazione di funzioni razionali, lemma di Jordan, calcolo della trasformata di Fourier. Esempi.
Gio 21-05-15: Teorema dell'indicatore logaritmico in domini limitati e illimitati. Esempi. Nuova dimostrazione del Teorema fondamentale dell'algebra. Lemma di Rouché.
Mar 26-05-15: Teorema della media di Gauss. Principio del massimo. Formula di Poisson nel disco. Problema di Dirichlet per l'equazione di Laplace nel disco: esistenza e unicita' della soluzione. Composizione di una funzione armonica e di una funzione olomorfa.
Gio 28-05-15: Da un problema di Dirichlet a un altro. Introduzione alle rappresentazioni conformi. Trasformazione lineare f(z)=a z+b; trasformazione reciproca f(z)=1/z.
Gio 04-06-15: Trasformazione lineare fratta f(z)=(az+b)/(cz+d); funzione di Zhukovski f(z)=(z+1/z)/2. Esercizi

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