Corso di Geometria Superiore
2009/10
Laurea Specialistica in Matematica
II semestre
Programma di
massima del corso:
Varietà complesse.
Fasci e coomologia dei fasci.
Fibrati vettoriali complessi.
Classi di Chern.
Forme armoniche e coomologia.
Teorema
di Hodge.
Varietà Kähleriane.
Decomposizione di Hodge.
Decomposizione
di Lefschetz.
Teoremi di
Riemann-Roch.
Applicazioni alle curve e superfici algebriche.
Prerequisiti:
Un
corso di Variabile Complessa, un corso di Topologia Algebrica, un primo
corso di Geometria Algebrica.
Bibliografia:
Phillip
Griffiths Joe Harris: Principles
of Algebraic Geometry.
Claire Voisin: Hodge
theory complex algebraic geometry I.
Claire
Voisin: Hodge
theory complex algebraic geometry II.
Claire Voisin: Théorie
de Hodge et Géométrie algébrique.
Daniel Huybrechts: Complex
Geometry: An Introduction.
Orario delle Lezioni:
Martedì:
11:00 - 13:00
Aula B
Mercoledì:
12:00 - 13:00
Aula B
Venerdì:
11:00 - 13:00 Aula B
Inizio del corso: Mercoledì 24 Febbraio.
Ricevimento studenti:
Giovedì 11:00 - 13:00 e per appuntamento via email: ea@mat.uniroma1.it
Diario delle Lezioni:
24/02 Varietà complesse. Esempi. Prime proprietà delle funzioni analitiche di più variabili complesse.
26/02 Teorema di Hartog. Teorema di Preparazione di Weierstrass e sue conseguenze. Scoppiamento di una varietà in un punto.
02/03 Teorema di estensione di Riemann. Nullstellensatz debole. Fibrati vettoriali, coomologia di de Rham e di Dolbeault.
03/03 Lemma di Poincaré d-bar. Fasci e prefasci. Successioni esatte. Funzioni meromorfe.
Divisori di Cartier e di Weil.
06/03 Coomologia di Cech dei fasci. Successione esatta lunga. Esempi. Il teorema di de Rham e di Dolbeault.
09/03 La prima classe di Chern. Gruppo di Picard.
10/03 Definizione di ciclo associato a una sottovarietà analitica. Successione di Eulero. Rigidità dello spazio proiettivo.
12/03
Metriche Riemanniane, operatore stella, operatore di Laplace. Strutture
complesse. Metriche hermitiane su fibrati complessi. Forma di volume.
Operatori differenziali.
16/03 Simbolo di un operatore
differenziale. Operatori ellittici. Enunciato del Teorema di
decomposizione per gli operatori ellittici.
17/03 Teorema di Hodge e teorema di dualità di Serre.
19/03 Scoppiamento di una varietà complessa lungo una sua sotovarietà. Divisore eccezionale e suo fibrato normale.
Metrica di Fubini-Study.
23/03
Connessioni su fibrati. Connessione di Levi-Civita, connessione di
Chern. Varietà di Kähler. Equivalenti definizioni della condizione di
Kähler.
24/03 Identità di Kähler: identità tra il Laplaciano complesso e quello reale.
26/03 Teorema di decomposizione di Hodge.
13/04 Dimostrazione delle identità di Kähler. Il diamante di Hodge.
Teoria di Lefschetz.
20/04
Decomposizione di Lefschetz. Caso delle varietà proiettive.
Morfismo di Gysin. Segnatura della forma quadratica di intersezione.
21/03 Teorema dell'indice di Hodge.
23/04 Teoria di Chern-Weil per le classi di Chern.
27/04 Carattere di Chern Classe di Todd. Formula di aggiunzione
28/04 Teorema di Hirzebruch-Riemann-Roch.
30/04 Scoppiamenti e classe canonica. Classi di Hodge. Lemma d-d-bar.
04/05 Diseguaglianze di Nakano. Teorema di immersione di Kodaira.
05/05 Teorema di Lefschetz. Coomologia coerente dello spazio proiettivo.
07/05 Teorema B. Teorema di Grothendieck sui fibrati vettoriali sulla retta proiettiva.
11/05 Successioni spettrali. Complessi filtrati e complessi doppi. Teoremi di de Rham
e di Dolbeault.
12/05 Teorema di Leray. Esempi e applicazioni.
14/05 Funtori derivati. Fasci fiacchi e fasci fini. Risoluzione canonica.
18/05 Risoluzione di Cech. Dimostrazione del Teorema di Leray sulle immagini dirette superiori.
19/05 Ipercoomologia. Applicazioni canoniche e pluricanoniche. Dimensione di Kodaira
21/05 Superfici di Riemann compatte.
25/05 Tori complessi. Teorema di Appel-Humbert.
26/05 Tori complessi e varietà abeliane.
28/05 Teoria di Brill-Noether
01/06 Tori complessi e Jacobiane