Curiosità

"Le forme create dal matematico, come quelle create dal pittore o dal poeta, devono essere belle; le idee come i colori o le parole, devono legarsi armoniosamente. La bellezza è il requisito fondamentale: al mondo non c'è un posto permanente per la matematica brutta."
                                         G.H.Hardy in "Apologia di un matematico"

"La scuola di Matematica è un "cristallo", metafora per inseguire un'immagine di purezza di ordine, di slancio e di immobilità di forme chiuse, dove tutto fosse "consumato" nel rigore dei volumi e d'un pensiero."
                                           Gio Ponti in "L'Architettura è un cristallo"

"La filosofia è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi agli occhi (io dico l'universo), ma non si può intendere se prima non si impara a intender la lingua e conoscere i caratteri né i quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica e i caratteri sono triangoli, cerchi ed altre figure geometriche, senza i quali mezzi è impossibile a intenderne umanamente parola, senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro laberinto."
                                           Galileo Galilei, Saggiatore


TOMOGRAFIA ASSIALE COMPUTERIZZATA

Un esempio notevole di argomento di matematica "pura" che ha trovato un'applicazione importante solo molto tempo dopo la sua introduzione è la cosiddetta "trasformata di Radon", che nell'enunciato di base associa a ogni funzione (ragionevole) sul piano i suoi integrali lungo le rette del piano stesso.
Del problema principale, la ricostruzione della funzione a partire da essi, fu data una soluzione da J. Radon nel 1917, ma l'argomento venne reso popolare oltre mezzo secolo più tardi dalla diffusione di TAC (Tomografia Assiale Computerizzata), RMN (Risonanza Magnetica Nucleare) e varie altre metodiche di visualizzazione non invasiva per l'indagine medica, basate su di esso o su sue varianti.
Ad esempio la TAC, per la cui invenzione ricevettero nel 1979 il premio Nobel per la medicina il fisico A. M. Cormack e l'ingegnere G. N. Hounsfield, utilizza i dati di attenuazione (sostanzialmente gli integrali...) di fasci di raggi X che attraversano il corpo del paziente lungo varie direzioni (...le rette...) in un dato piano assiale (...il piano...) per ottenere una mappatura punto per punto del coefficiente di assorbimento (...la funzione incognita!) del corpo lungo quel piano; la procedura, ripetuta per vari piani paralleli a breve distanza l'uno dall'altro sino a coprire tutta la zona di interesse, fornisce così dati tridimensionali che possono essere visualizzati dal medico con varie modalità.


I LEOPARDI CONOSCONO LA MATEMATICA

Può esserci un collegamento tra la pigmentazione del mantello dei leopardi ed alcune equazioni matematiche?
Parrebbe una vera e propria assurdità.
Non è dello stesso parere J.D. Murray, uno studioso particolarmente attento all'applicazione dei modelli matematici alla biologia, il quale ha mostrato che è possibile spiegare il meccanismo che determina la colorazione della pelle dei mammiferi tramite delle equazioni matematiche, dette "equazioni di reazione-diffusione".
Ecco, in termini semplificati, qual'è la spiegazione di Murray. La produzione di melanina, che determina il colore dei peli, dipende, in ultima analisi, dalla presenza o meno di elementi chimici, detti "attivatori'' e "inibitori''. E' possibile spiegare la generazione della struttura definita dagli elementi chimici tramite due fenomeni: i componenti chimici interagiscono tra loro (effetto di reazione), i componenti chimici tendono ad invadere le regioni circostanti (effetto di diffusione). La semplice combinazione di questi due effetti permette di scrivere equazioni dalla struttura semplice. Al variare di certi parametri, che definiscono la rapidità con cui diffusione e reazione si manifestano, si ottengono strutture diverse la cui somiglianza con la colorazione di pelli di mammiferi è davvero notevole: si riconoscono alla perfezione le macchie dei leopardi e le strisce delle zebre!
In definitiva, sotto sotto, i leopardi un po' di matematica la conoscono...

 


TEOREMA DI FERMAT

"Avevo capito che (quella del Teorema di Fermat) era veramente una delle più grandi storie scientifiche e accademiche. [...] Appresi le antiche origini greche del problema e che L'Ultimo Teorema di Fermat era la vetta himalayana della teoria dei numeri. Venni introdotto alla bellezza estetica della matematica e cominciai a capire perchè si designa la Matematica come il linguaggio della natura. Attraverso i colleghi di Wiles compresi che egli aveva compiuto uno sforzo titanico nel far convergere tutte le più recenti tecniche della teoria dei numeri verso la sua dimostrazione del Teorema di Fermat...

Anche se le nozioni matematiche coinvolte nella dimostrazione di Wiles sono tra le più difficili del mondo, capii che la bellezza dell'Ultimo Teorema di Fermat risiede nell'estrema semplicità del problema stesso. E' un'enigma formulato in termini comprensibili ad ogni scolaretto. Pierre de Fermat, nel solco della tradizione rinascimentale, che aveva prodotto la rinascita del sapere greco, pose una domanda alla quale i greci non avevano pensato e così facendo, formulò il problema più difficile mai esistito.

Per eccitare la curiosità dei posteri lasciò un appunto nel quale suggeriva di possedere la risposta, ma senza precisare quale fosse. Era l'inizio di una caccia durata tre secoli."

(Simon Singh "L'ultimo Teorema di Fermat")

" Era una dimostrazione così indescrivibilmente bella, era così semplice, e così elegante. Non riuscivo a capire come mi potesse essere sfuggita e la fissai incredulo per venti minuti. Poi durante il giorno andai in giro per il dipartimento, e continuavo a tornare alla scrivania per vedere se la soluzione era ancora lì. Non riuscivo a trattenermi, ero eccitatissimo. Fu il momento più importante della mia vita di lavoro. Niente di quello che potrò mai fare significherà altrettanto"

(Andrew Wiles, sulla sua dimostrazione dell'Ultimo Teorema di Fermat).

Teorema: Per ogni numero intero n maggiore o uguale a 3, non esistono tre interi x, y, e z tali che xn + yn = zn.

Osservazione: per n=2 questa affermazione non è vera, basta considerare 32 + 42 = 52, cioè 9+16=25.


INFINITO

"Vedo solo infinito da tutte le finestre."
(Blaise Pascal)

"Quasi tutti i matematici del settecento fecero qualche sforzo per migliorare la logica del calcolo infinitesimale...tutti gli sforzi fallirono miseramente. La distinzione fra un numero molto grande e un numero infinito non veniva quasi mai fatta e sembrava chiaro che un teorema valido per qualsiasi numero n dovesse valere anche per n infinito."
(Morris Kline, Storia del pensiero matematico).

"Che cos'è l'infinito? Se un qualunque filosofo si fosse posto questa domanda avrebbe potuto scrivere qualche incomprensibile litania ma senza poter dare un'esauriente definizione. Dedekind e Cantor si sono posti questa domanda ma, ciò che è più notevole, hanno dato una risposta completamente esaustiva. [....] Cantor si accorse che tutte le contraddizioni [connesse al concetto di infinito] venivano da un "principio" che sembrava completamente ovvio ma che era distruttivo per qualsiasi ragionamento matematico. [...]

Il principio in questione è che se una collezione A è una parte di un'altra collezione B, allora la collezione A ha meno oggetti della collezione di cui fa parte. Gli inglesi sono europei, ci sono meno inglesi che europei. Questo semplice fatto non è piu vero per collezioni infinite. Quindi possiamo definire una collezione infinita [o insieme infinito] se contiene delle sottocollezioni che hanno altrettanti elementi quanto la collezione totale. [...]

Siccome ad ogni numero intero posso far corrispondere il suo doppio (che è pari) ed ad ogni numero pari posso far corrispondere un numero intero di cui esso è il doppio ci sono ovviamente altrettanti numeri interi che numeri interi pari . Questo può essere facilmente capito guardando le due righe sotto
1, 2, 3, 4, 5 etc...
2, 4, 6, 8, 10 etc...
Ci sono ovviamente lo stesso numero di numeri nella prima fila che nella seconda, perchè ce n'è uno sotto per ognuno sopra."
(Bertrand Russel)

Insieme alla definizione rigorosa di infinito, Cantor si è occupato dell'infinitesimo; infatti ha definito la proprietà del continuo di cui godono in particolare i numeri reali e ha così costruito, su basi solide, il concetto di limite alla base di tutta l'Analisi matematica.


LABIRINTI

I matematici si sono occupati dei labirinti classici senza incroci.
Quanti labirinti essenzialmente diversi esistono? Detto in termini matematicamente rigorosi, è possibile classificare tutti i labirinti?
Numerando in modo progressivo dall'esterno verso l'interno del labirinto le circonvoluzioni che lo compongono si può associare ad ogni labirinto la sequenza numerica secondo la quale le circonvoluzioni vengono percorse; chiamando "livello del labirinto" il numero massimo di circonvoluzioni che lo compongono (con la convenzione che il cerchio esterno è indicato dal numero zero) Phillips ha classificato i labirinti sino al livello 22. Il loro numero risulta essere di 73.424.650. Anche nel caso dei labirinti con incroci i matematici hanno cercato delle regole che permettessero di trovare la via da percorrere.
Alcune di queste regole sono state descritte dai matematici francesi Tarry e Tremeau alla fine del XIX secolo.


NODI

Da un punto di vista matematico, un nodo è una curva chiusa dello spazio che non interseca se stessa: un modello concreto è dato esattamente da quello che siamo abituati a chiamare "nodo" con una importante differenza: i due capi della corda utilizzata per effettuare il nodo sono "saldati" tra loro.  

A questo punto non è detto che sia possibile sciogliere il nodo (senza ovviamente recidere la corda): per rendersi conto di ciò basta semplicemente fare una prova con il nodo di una stringa da scarpe. Si hanno allora varie possibilità di allacciamento della corda, e lo scopo ultimo della teoria dei nodi è quello di classificare tali oggetti, cercando di capire quando, dati due nodi, sia possibile deformare l'uno nell'altro semplicemente "manipolando la corda".

La teoria dei nodi è un campo di ricerca antico, difficile e ricco di sorprendenti sviluppi. Nasce infatti nella seconda metà dell'ottocento come modello matematico di teorie fisiche (secondo Lord Kelvin le proprietà chimiche erano legate alle proprietà di intrecciamento degli "atomi") e da allora resta al centro degli interessi di ricerca dei matematici dell'area algebro-geometrica (prova ne sia il fatto che importanti recenti sviluppi sono dovuti a due vincitori della Fields medal, il "Nobel" dei matematici: V. Jones e M. Kontsevich).

Nonostante i fondamentali progressi fatti, la teoria è tuttora ricca di problemi insoluti, e mantiene la sua importanza sia perché i risultati ottenuti sono stati spesso la base per generalizzazioni a teorie ancora più complesse (ad esempio quella delle 3 varietà), sia per le connessioni con scienze applicate: citiamo come esempio le interazioni con la biologia molecolare.

In alcune circostanze, infatti, la "doppia elica" schematizzante una molecola di DNA può opportunamente interpretarsi come un nodo, e lo studio di particolari reazioni chimiche può essere ricondotto a quello di certe operazioni matematiche su una rappresentazione grafica del nodo stesso.

 


CRITTOGRAFIA

"Dal 1937 divenne chiaro che [...] l'esercito, la marina e probabilmente l'aviazione tedesca [...] usavano per tutte le loro comunicazioni versioni diverse dello stesso sistema cifrato: il sistema basato sulla macchina Enigma...

Ciò che rendeva così difficile violare il codice Enigma era l'enorme numero di modi in cui la macchina poteva essere impostata... più di centocinquanta milioni di milioni di milioni di possibili impostazioni... Turing diresse un gruppo di matematici che costruì delle immagini speculari della macchina Enigma (chiamate "bombe"). Grazie alla Cypher School gli alleati sapevano più cose sul nemico di quanto i tedeschi avessero mai sospettato."
(Simon Singh, "L'ultimo teorema di Fermat").

La crittografia studia come cifrare messaggi, cioè come scambiare dati in maniera sicura usando un canale pubblico. Cifrare un messaggio significa semplicemente scriverlo in maniera non immediatamente leggibile e ciò si può fare, ad esempio, sostituendo ciascuna lettera con quella che la segue, nell' alfabeto, di un numero assegnato di posti (codice di Giulio Cesare), oppure sostituendo le lettere con cifre (in una base qualunque e con un ordine da stabilire), e ciò richiede che i due utenti che si scambiano i messaggi conoscano entrambi il "trucco" (chiave).

L'idea dei sistemi a chiave pubblica è invece quella di usare chiavi diverse per cifrare e decifrare i messaggi. Pertanto, si può rendere pubblica la chiave da usare per inviare messaggi al Signor X, mentre questi è il solo a conoscere la chiave per decifrare i messaggi a lui diretti.

La realizzazione dei criptosistemi a chiave pubblica, per scambiarsi le chiavi segrete per cifrare e decifrare i messaggi, utilizza questioni di teoria dei numeri, algebra, teoria della complessità, algoritmi combinatori e probabilistici, teoria dell'informazione e matematica discreta.

Nel sistema RSA si sfrutta la difficoltà di fattorizzare un numero naturale che sia prodotto di due primi distinti molto grandi (e vicini). In sistemi più sofisticati, si usano curve ellittiche definite su campi finiti. Sistemi molto recenti usano gruppi di permutazioni.


GIOCARE IN BORSA CON LA MATEMATICA

Il gioco in borsa è quasi diventato una passione nazionale (anzi, mondiale) e tanti sono oggi quelli che si dedicano al "trading on line", via Internet....

Chiunque si sia avvicinato al mondo affascinante e misterioso della finanza avrà incontrato la parola "opzione". Ma cos'è un'opzione? Ce ne sono di vari tipi. Ad esempio l'opzione "call europea" dà il diritto (ma non il dovere!) di acquistare ad una data prefissata e ad un prezzo prefissato tot azioni di una certa società. Certo, avere questo diritto ci dà un bel vantaggio!

E come tutti i vantaggi costa qualcosa. Ad esempio: un'azione Fiat vale oggi circa 30 Euro; mi piacerebbe garantirmi il diritto di poter acquistare un'azione Fiat il 31 dicembre 2001 al prezzo di 33 Euro (infatti credo che la quotazione di tali azioni aumenterà molto, ma ora non ho i soldi per comprarne quante vorrei). Magari però il denaro che ho ora in tasca mi può bastare per comprare questo diritto: qual è il prezzo giusto? Possedere un'opzione può rivelarsi, al 31 dicembre 2001, veramente prezioso, se le Fiat saranno salite molto, o del tutto inutile, se le Fiat saranno calate e sarà possibile acquistarle sul mercato a meno di 33 Euro. Allora mi domando ancora: qual è la cifra certa da pagare oggi, 6 Aprile 2000, per comprare quest' opzione, il cui valore al 31 dicembre 2001 è oggi incerto?

Questo problema, detto di "option pricing", così come tanti altri fenomeni interessanti in cui non possiamo ignorare una fonte strutturale di incertezza, può essere studiato con i metodi del Calcolo delle Probabilità. È interessante sottolineare che Black e Scholes hanno avuto il premio Nobel in economia per aver proposto un modello matematico probabilistico estremamente efficiente per l' "option pricing".


DIVENTARE MILARDARI CON LA MATEMATICA

Nel 1742 un matematico prussiano Christian Goldbach che andò a Mosca come tutore della famiglia dello Zar Pietro II invia una lettera al più famoso matematico dell'epoca Leonhard Euler proponendogli la seguente congettura: "Ogni numero pari più grande di due può essere scritto come la somma di due numeri primi" (ad esempio 26=23+3, si ricorda che un numero primo è un numero che è divisibile solo da sé stesso e da uno).
Malgrado la sua straodinaria semplicità questa congettura non è ancora stata dimostrata! Grazie ai supercomputer è stato possibile verificarla sino al numero 400.000.000.000.000 (cioè per ogni numero pari n piu piccolo di questo numero si è trovata una coppia di numeri primi tali che la loro somma sia uguale ad n). Ma questo non vuol dire affatto che sia sempre vero. L'editore Tony Faber ha messo in palio un milione di dollari per chi fosse in grado di dimostrare questa congettura, cioè per chiunque scriva una dimostrazione che venga accettata per pubblicazione su una rivista scientifica di livello internazionale.

Per saperne di più sui risultati ottenuti sulla congettura di Goldbach consultate il sito: http://primes.utm.edu/glossary/xpage/goldbachconjecture.html... e buona fortuna!


BOLLE DI SAPONE

"Fate una bolla di sapone e osservatela: potreste passare tutta la vita a studiarla"  (Lord Kelvin).

Potrebbe sembrare una affermazione esagerata, cosa c'è di più semplice di una bolla di sapone?

Lo studio delle bolle e delle lamine di sapone è solo un esempio del problema molto complesso delle "superfici minime", uno dei temi di ricerca del settore della matematica noto come "Calcolo delle variazioni".

Per illustrare i problemi che vengono affrontati in questo settore consideriamo il cosiddetto problema di Didone o isoperimetrico: nell'Eneide Virgilio racconta che la regina Didone arrivata sulle coste africane chiede a Labra, re della regione, un pezzo di terra dove fondare una città. Il re per schernirla gli propose tanta terra "...quanta cerchiar di un bue potesse un tergo"; un pezzo di terra grande solo quanto la pelle di un bue. Ma la furba Didone tagliando la pelle di bue in strisce piccolissime cucite insieme e, partendo da un punto sulla costa si mise a recintare con le strisce la terra su cui fondare Cartagine.

Il problema che Didone doveva risolvere era quello di circondare con la lunghezza delle strisce la maggior estensione di terra possibile. Risolse brillantemente il problema disegnando un semi-cerchio.

Il semplice problema isoperimetrico "tra tutte le figure piane che hanno la stesso perimetro qual è quella che ha la maggior area all'interno", che, se non ha altri vincoli, ha come risposta il cerchio, è stato trattato per la prima volta in termini matematici da Pappo nel libro V dei suoi volumi di matematica e fisica, intorno al 390 A.D. Tuttavia per la formulazione rigorosa dei problemi legati alla ricerca di massimi e minimi, cioè di "Calcolo delle Variazioni" , è necessario aspettare il XIX secolo con i risultati di Eulero e Lagrange. Nel 1873 Joseph Plateau pubblicò i risultati dei suoi lavori sperimentali sulle lamine e agglomerati di bolle di sapone; ma è soltanto un secolo più tardi, nel 1973, che la matematica Jean Taylor fu in grado di dimostrare che le leggi di Plateau erano vere.


PROBLEMA DEI 4 COLORI

Il celebre problema dei quattro colori nasce storicamente (Francis e Frederick Guthrie, 1852; A. Cayley, 1878) come problema di colorazione di carte geografiche: si vuole che due stati confinanti non abbiano lo stesso colore e ci si domanda se quattro colori siano comunque sufficienti per colorare gli stati di una qualunque possibile carta geografica.

Da un punto di vista matematico, conviene anzitutto precisare il concetto di carta geografica: gli stati sono regioni del piano connesse (cioè non formate da due o più parti), e due stati si dicono confinanti se hanno una linea di confine in comune (non soltanto un numero finito di punti).

Il problema rimane sostanzialmente inalterato se le regioni si trovano, anziché su di un piano, sulla superficie di una sfera (la Terra): in quest'ultimo caso, basta scegliere un punto P interno ad una regione e proiettare la superficie sul piano tangente nel punto diametralmente opposto a P; ci si riporta così al caso di regioni piane.

La risposta affermativa al problema - congetturata da P.J. Heawood (1861-1955), che aveva dimostrato che cinque colori sono comunque sufficienti - è stata data soltanto nel 1976 da K. Appel e W. Haken, e costituisce il teorema dei quattro colori. A questa dimostrazione, molto complicata e che per di più fa un uso massiccio del calcolatore, si è giunti attraverso una serie di precedenti "dimostrazioni" presunte; ci limitiamo a citare quelle di B. Kempe del 1879 e di G. Tait del 1880, rispettivamente confutate da Heawood nel 1890 e da Petersen nel 1891. Gli sforzi tesi alla risoluzione del problema hanno dato comunque un importante contributo allo sviluppo della teoria dei grafi ed allo studio della topologia.