Scheda insegnamento

Metodi Numerici per le Equazioni alle Derivate Parziali

anno accademico:	2012/2013
docente:	Stefano Finzi Vita
corso di laurea:	Matematica per le Applicazioni (magistrale)
tipo di attività formativa:	caratterizzante
crediti formativi:	6 (48 ore di lezione)
raggruppamento disciplinare:	MAT/08 Analisi numerica
lingua di insegnamento:	italiano
periodo:	II sem (05/03/2013 - 08/06/2013)

Aula ed orario di lezione

Frequenza: consigliata

Obiettivi del corso: Introduzione ai metodi numerici per le equazioni alle derivate parziali con particolare riferimento agli schemi agli elementi finiti. Analisi dei metodi su problemi modello lineari (stazionari ed evolutivi) in due dimensioni e indicazioni sulla effettiva costruzione degli algoritmi. Alcune sessioni di laboratorio saranno dedicate alla risoluzione di problemi (in Matlab, Freefem, C o FORTRAN).

Programma di massima del corso: Alcuni modelli differenziali alle derivate parziali di interesse nelle applicazioni e i principali metodi di risoluzione numerica corrispondenti. Dopo alcuni richiami sui principali risultati della teoria (si suppone che gli studenti abbiano gia' seguito un corso di base sulle EDP), verranno affrontate le tecniche di approssimazione: si studieranno gli schemi standard alle differenze finite e soprattutto il metodo degli elementi finiti per lo studio numerico di problemi lineari ellittici, parabolici e iperbolici in due dimensioni. Il corso comprende anche una parte di esercitazioni al calcolatore.

Problemi ellittici  Richiami sui problemi al contorno per le equazioni lineari ellittiche del secondo ordine: soluzioni classiche, principio del massimo, formulazione variazionale in spazi di Sobolev. Schemi alle differenze finite per l'equazione di Poisson, principio del massimo discreto e analisi della convergenza. Il metodo di Galerkin per l'approssimazione di un problema variazionale. Definizione di elemento finito di Lagrange. Teoria dell'interpolazione polinomiale negli spazi di Sobolev, teoremi di convergenza e stime dell'errore di approssimazione per il metodo degli elementi finiti, aspetti computazionali e confronto col metodo delle differenze finite. Analisi numerica dei problemi ellittici a trasporto (o reazione) dominante e loro trattamento con tecniche alle differenze finite o agli elementi finiti. Schemi decentrati e diffusione artificiale. Cenno ai metodi di stabilizzazione degli schemi agli elementi finiti per problemi di diffusione-trasporto.
Problemi parabolici  Richiami sui risultati classici e sulla formulazione variazionale dei problemi parabolici lineari. Schemi alle differenze finite per l'equazione del calore, errore di consistenza e stima di stabilita'. Un metodo di semidiscretizzazione in spazio agli elementi finiti e di avanzamento in tempo (teta-metodo) alle differenze, teoremi di stabilita' e convergenza, osservazioni sull'implementazione.
Problemi iperbolici del II ordine Metodi numerici per la risoluzione dell'equazione delle onde (DF).
Problemi non lineari: Hamilton-Jacobi, disequazioni variazionali.

Testo consigliato: A. Quarteroni, Modellistica numerica per problemi differenziali, Springer, V ediz. 2012
Per ulteriori approfondimenti si vedano anche:
A. Quarteroni - A. Valli, Numerical Approximation of Partial Differential Equations, Springer, 1994
L. Formaggia - F. Saleri - A. Veneziani, Applicazioni ed esercizi di modellistica numerica per problemi differenziali, Springer, 2005
J.C. Strickwerda, Finite Difference Schemes and PDE, Wadsworth & Brooks/Cole, Pacific Gr., 1989

Modalità di erogazione: convenzionale

Esercitazioni:

Testi di passate prove d'esame:

Risultati di apprendimento - Conoscenze acquisite: Gli studenti che abbiano superato l'esame saranno in grado di avere una conoscenza di base delle tecniche per la risoluzione delle equazioni alle derivate parziali lineari. Essi inoltre acquisiranno alcune nozioni fondamentali su convergenza, stabilita', stime a priori e complessita' degli algoritmi.

Risultati di apprendimento - Competenze acquisite: Gli studenti che abbiano superato l'esame saranno in grado di scrivere semplici programmi per la soluzione di equazioni alle derivate parziali lineari e di analizzarne i risultati. Durante le sessioni di laboratorio sui PC faranno uso di alcuni pacchetti software come Matlab, Freefem e Gnuplot.

Studio personale: la percentuale prevista di studio personale sul totale dell'impegno richiesto è del 65%